直线
欧式几何中一个最基本的公理是两点确定一条直线。我们都知道，这条公理对于2维和3维空间成立。n维空间中的直线，也可以用两点x1和x2完全确定。一般地，过x1和x2的直线是由集合
{x=tx1+(1−t)x2:t∈R}
中的点构成。特别地，当t=1时，x=x1；当t=0时x=x2。若0<t<1，则x落在x1和x2之间。若t<0或t>1，则x落在x1和x2之外，如下图。
由上图不难看到，集合
{x=tx1+(1−t)x2:0≤t≤1}
是端点为x1和x2的线段。为了简便，我们通常记作
[x1,x2]={x=tx1+(1−t)x2:0≤t≤1}.
这当然是区间符号在n维空间的拓展。类似地，我们还可以定义开区间和半开半闭区间。另外，集合
{x=tx1+(1−t)x2:t≥0}
是以x2为起点，过x1的一条射线。这个结论在1维空间中很容易验证。因为当x1<x2时
{x=tx1+(1−t)x2:t≥0}={x:x≤x2}；
当x1>x2时，有
{x=tx1+(1−t)x2:t≥0}={x:x≥x2}.
超平面
有了直线的概念，超平面的概念也可以从立体集合中平面的概念推广而来。一般地，一个超平面是垂直于某条直线的直线构成的集合。我们说超平面S与直线l垂直，当且仅当S中的任意直线都与直线l垂直。我们都知道，在立体集合中，与一条直线垂直的平面有无穷多个。这些平面之间彼此平行。为了唯一地确定这个平面，需要固定平面上的一个点。n维空间的超平面，也是用相同的方法确定的。
具体来说，设l是过点x1和x2的直线，超平面S与l垂直。同时，我们假设S过点x2，那么我们有
S={x∈Rn:(x1−x2)T(x−x2)=0}.
如果我们令x1−x2=a且aTx2=c，那么
S={x∈Rn:aTx=c}.
这就是超平面的标准形式。向量a是超平面S的法向量，因为S中的任何直线都与向量a垂直。
特别地当c=0时，S过原点，此时S是一个n−1维的子空间。当c̸=0时，S是一个n−1维子空间的平移，我们称之为仿射。有代数基础的同学都知道，仿射与子空间的关系，其本质是陪集与子群的关系。一般来说，若S0是一个子空间，那么与之平行的仿射S可以表示成
S={x0+y:y∈S0}.
这里x0是S中的任意元素。当x0∈S0时有S=S0。关于仿射的其他性质，完全可以由陪集的性质迁移而来。例如设
S={x0+y:y∈S0},
S′={x1+y:y∈S0}.
那么当x0∈S′时有S=S′。再如，若S是一个仿射，那么集合
S0={x−x0:x∈S}
是一个子空间，这里x0是S中的任意元素。
半空间
一个超平面，将一个n维空间分割成了两部分。即
H+={x∈Rn:aTx>c}.
和
H−={x∈Rn:aTx<c}.
很显然，H+和H−都不再是线性空间了。因为若x∈H+则−x∈/H+。通常，我们将H+和H−称为半空间。另外，由于H+和H−是开集，所以叫做开半空间。类似地，由于集合
H+={x∈Rn:aTx≥c}.
和
H−={x∈Rn:aTx≤c}.
是闭集，我们称为闭半空间。
关于开集和闭集的概念，会在拓扑中着重介绍。
球体和球面
三维空间中，一个球体是到球心的距离不大于半径的点的集合。这个概念推而广之，便是n维空间中球体的概念。对于任意的x∈Rn, r∈R, 记
B(x0,r)={x:∣x−x∣<r}
为以x为圆心，r为半径的开球。记
B∗(x0,r)={x:∣x−x∣≤r}
为以x为圆心，r为半径的闭球。而一个球体的球面，是集合
S(x0,r)={x:∣x−x∣=r}.
这与三维球体的球面概念类似。
