正解:网络流+$tarjan$

解题报告:

传送门$QwQ$

$umm$最小割的判定问题$QwQ$,因为并不会做是看的题解才会的,所以也没什么推导过程直接放结论趴$QwQ$

首先跑个最大流,然后有.

1)可行流($x,y$)的充要条件:满流&残余网络中不存在$x$到$y$的路径

2)必然流($x,y$)的充要条件:满流&残余网络中$ST$分别能到达$xy$

证明的话都可以用反证法?

对于1,挺显然的还,就如果存在$x$到$y$的路径,说明并没有割开,显然不属于最小割

对于2,我取一边为例,若$S$不能到达$x$,则说明一定有一条边也能被割开,则可以割开那条边,因此这条边不是必然边.$over$

然后具体体现的话就是.

1)满流&$xy$不属于一个$SCC$中

2)满流&$xy$分别与$ST$属于一个$SCC$中

所以就跑个最大流然后跑个$tarjan$就欧克!$over$

补一个易错点,,,虽然我$jio$得可能就我一个人那么傻逼被这个傻逼的易错点坑了1$h$,,,$QAQ$

就,在用当前弧优化的时候不是要在每次$dinic$中$bfs$后给所有$cur$赋值为$head$嘛,因为我之前一直是$S$是最小$T$是最大所以我就一直打的$for(S,T)$.但是在这题里应该是$for(1,n)$,,,$QAQ$

没了,$over$

$洛谷$P4126\ [AHOI2009]$最小割图论$ $洛谷$P4126\ [AHOI2009]$最小割图论$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define gc getchar()
#define t(i) edge[i].to
#define w(i) edge[i].wei
#define n(i) edge[i].nxt
#define ri register int
#define rb register int
#define rc register char
#define rp(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;++i)
#define my(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;--i)
#define e(i,x) for(ri i=head[x];~i;i=n(i))

const int N=5000+10,M=60000+10,inf=1e9;
int n,m,dep[N],head[N],cur[N],S,T,ed_cnt=-1,dfn[N],low[N],tim,stck[N],tp,bl[N],bl_cnt;
bool instck[N];
struct ed{int to,nxt,wei;}edge[M<<2];

il int read()
{
    rc ch=gc;ri x=0;rb y=1;
    while(ch!='-' && (ch>'9' || ch<'0'))ch=gc;
    if(ch=='-')ch=gc,y=0;
    while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=gc;
    return y?x:-x;
}
il void ad(ri x,ri y,ri z)
{edge[++ed_cnt]=(ed){x,head[y],z};head[y]=ed_cnt;edge[++ed_cnt]=(ed){y,head[x],0};head[x]=ed_cnt;}
il bool bfs()
{
    queue<int>Q;Q.push(S);memset(dep,0,sizeof(dep));dep[S]=1;
    while(!Q.empty()){ri nw=Q.front();Q.pop();e(i,nw)if(w(i) && !dep[t(i)]){dep[t(i)]=dep[nw]+1,Q.push(t(i));}}
    return dep[T];
}
il int dfs(ri nw,ri flow)
{
    if(nw==T || !flow)return flow;ri ret=0;
    for(ri &i=cur[nw];~i;i=n(i))
        if(w(i) && dep[t(i)]==dep[nw]+1){ri d=dfs(t(i),min(flow,w(i)));w(i)-=d,flow-=d,ret+=d,w(i^1)+=d;}
    return ret;
}
il int dinic()
{ri ret=0;while(bfs()){rp(i,1,n)cur[i]=head[i];while(int d=dfs(S,inf))ret+=d;}return ret;}
il void tarjan(ri x)
{
    dfn[x]=low[x]=++tim;stck[++tp]=x;instck[x]=1;
    e(i,x)if(w(i)){if(!dfn[t(i)])tarjan(t(i)),low[x]=min(low[x],low[t(i)]);else if(instck[t(i)])low[x]=min(low[x],dfn[t(i)]);}
    if(!(low[x]^dfn[x])){++bl_cnt;ri tmp;do{tmp=stck[tp--];bl[tmp]=bl_cnt;instck[tmp]=0;}while(tmp!=x);}
}

int main()
{
    //freopen("4126.in","r",stdin);freopen("4126.out","w",stdout);
    memset(head,-1,sizeof(head));n=read();m=read();S=read();T=read();
    rp(i,1,m){ri x=read(),y=read(),z=read();ad(y,x,z);}dinic();
    rp(i,1,n)if(!dfn[i])tarjan(i);
    rp(i,1,m)
    {
        ri ed_nam=(i-1)<<1;
        if(w(ed_nam)){printf("0 0\n");continue;}
        if(bl[t(ed_nam)]^bl[t(ed_nam^1)])printf("1 ");else printf("0 ");
        if(bl[t(ed_nam)]^bl[T] || bl[t(ed_nam^1)]^bl[S])printf("0\n");else printf("1\n");
    }
    return 0;
}

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洛谷$P4126\ [AHOI2009]$最小割 图论

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