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半正定矩阵

分类: 文章 • 2024-11-06 08:23:52

1.【定义】给定一个大小为 $n$ x $n$ 的实对称矩阵A,若对于任意长度为 $n$ 的向量 $x$ ,有 $x^{T}Ax \geq 0$ 恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵。
半正定矩阵包含正定矩阵（正定矩阵是 $x^{T}Ax > 0$ ）

2.【几何解释】若给定一个正定矩阵A∈ $R^{nxn}$ 和一个非零向量 $x$ ∈ $R^{n}$ ,则两者相乘得到的向量 $y=Ax$ ∈ $R^{n}$ 与向量的夹角恒小于或等于 $\frac{\pi}{2}$
半正定矩阵

3.协方差矩阵是半正定的
对于任意多元随机变量 $t$ ,协方差矩阵为c=E[( $t-\overline{t}$ )( $t-\overline{t})^{T}$ ],给定任意一个向量 $x$ ,则
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