数学基础 - 第四章 几何初步

4.1  几何图形

4.1.1   立体图形与平面图形

有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们

是立体图形(solid figure).棱柱、棱锥也是常见的立体图形。

有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平

面图形(plane figure).

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图( developing draw-ing).

4.1.2   点、线、面、体

长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称体(soid)

包围着体的是面(surface).面有平的面和曲的面两种.平静的水面给我们以平面的形象,而些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象

夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线,节日的焰火画出的曲线组成优美的图案这些都给我们以线(line)的形象.

面和面相交的地方形成线.长方体6个面相交成的12条棱(线)是直的,圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的

天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点( point)的形象.线和线相交的地方是点

4.2  直线、射线、线段

经过思考和画图，我们可以得到一个基本事实:

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

简单说成:两点确定一条直线.

当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交( intersection) ，

这个公共点叫做它们的交点(point of intersection).

射线和线段都是直线的一部分.类似于直线的表示，我们可以用图4.2-5

的方式来表示线段AB (或线段BA),其中点A点B是线段的端点.

用图4.2-6的方式来表示射线OA,其中点O是射线的端点.

画一条线段等于已知线段a,可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.在数学中，

 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图，如图4.2-7，我们可以用直尺画射线AC,

再用圆规在射线AC上截取AB=a.这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图.

经过比较，我们可以得到-个关于线段的基本事实:两点的所有连线中，线段最短

简单说成:两点之间，线段最短.

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离(distance).

4.3  角

4.3.1   角

角(angle)也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，三

角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象.

我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一一个周角360等分，每一份就

是1度(degree)的角，记作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1';把1分的

角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1".

4.3.2   角的比较与运算

一般地， 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线(angular bisector).

类似地，还有角的三等分线等(图4. 3-10).

4.3.2   余角和补角

在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是90° (30°+60°=90°， 45°+45°=90°).

一般地，如图4.3-13， 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)，

即其中每一个角是另一个角的余角.

类似地，如图4.3-14,如果两个角的和等于180° (平角)，就说这两个角互为补角(supplementary angle)，

即其中一一个角是另一个角的补角.

补角的性质：同角(等角)的补角相等.

余角的性质：同角(等角)的余角相等.