吴恩达 机器学习笔记二（lecture 2）（损失函数、梯度下降）

梯度下降法基础知识

1、梯度：

在微积分里面，对多元函数参数求偏导数，把求的各参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

梯度向量从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方，沿着梯度向量的方向更容易找到函数的最大值，沿着向量相反的方向，梯度减小最快，更容易找到函数最小值。

2、梯度下降与梯度上升可以互相转化。求损失函数f(θ)的最小值，用梯度下降法迭代，亦可反过来求损失函数 -f(θ)的最大值，用梯度上升法。

3、梯度下降算法解析

（1）直观解释

eg.在一座大山的某一位置，要下山，走一步算一步，每走一步就计算当前位置的梯度，沿着当前梯度的负方向走一步（也就是当前最陡的位置），然后再次计算当前位置，这样一步一步往下走，一直走到觉得已经到了山脚。有可能我们只是到了一个局部山峰底部。所以梯度下降不一定能找到全局最优解，有可能是一个局部最优解。当损失函数是凸函数的时候，梯度下降法所求的解就是全局最优解。

（2）相关概念

（i）步长：梯度下降迭代过程中每一步沿负方向前进的长度。

（ii）特征：样本输入部分，样本（x₀,y₀），其样本特征为x,输出为y。

 (Iii) 假设函数：在监督学习中，用假设函数拟合输入样本，记为h_θ(x)。比如对于样本（x_i,y_i）。(i=1,2,...n),可以采用拟合函数如下： h_θ(x) = θ₀+θ₁x。

（iv）损失函数：度量拟合程度，评估模型拟合好坏。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数为最优参数。线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。

（3）算法：

（i）代数法

（ii) 矩阵法

（4）算法调优

（i）步长选择。

  步长太大，会导致迭代过快，错过最优解；

  步长太小，迭代速度太慢，耗时间太长。

（ii）初始值选择。

  有可能求的是局部最优解，所以要多次使用不同初始值进行运算，选择损失函数最小化的初始值。

 （iii）将特征数据归一化。

Gradient descent algorithm