矩阵乘法和求矩阵的逆

1. 常规方法:行向量*列向量
2. 矩阵*列向量
3. 行向量*矩阵
4. 列向量*行向量
5. 分块矩阵乘法
6. 求矩阵的逆

列*行

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right], B = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right], AB = C$A=⎣⎡​130​221​111​⎦⎤​,B=⎣⎡​132​221​311​⎦⎤​,AB=C

$C_{(i,j)} = \sum_{k=1}^{3} A_{(i,k)}B_{(k,j)}$C(i,j)​=k=1∑3​A(i,k)​B(k,j)​
$C_{(i,j)} = A_{row_i}\cdot B_{col_j}$C(i,j)​=Arowi​​⋅Bcolj​​

• $i=2,j =2$i=2,j=2
• $C_{(2,2)} = 3\times 2+2\times 2+1\times 1 = 11$C(2,2)​=3×2+2×2+1×1=11

矩阵*列向量

$A\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] =C$A⎣⎡​132​221​311​⎦⎤​=C

$C= \left[\begin{matrix}A\left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 2\end{matrix}\right] & A\left[\begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right] & A\left[\begin{matrix} 3\\ 1\\ 1\end{matrix}\right]\end{matrix}\right]$C=⎣⎡​A⎣⎡​132​⎦⎤​​A⎣⎡​221​⎦⎤​​A⎣⎡​311​⎦⎤​​⎦⎤​

矩阵$A$A列向量的线性组合
$A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$A=⎣⎡​130​221​111​⎦⎤​

$C_{col_1} = A\left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 2\end{matrix}\right] = 1\times \left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 0\end{matrix}\right]+ 3\times \left[\begin{matrix}2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right] + 2\times \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 9\\ 11\\ 5\end{matrix}\right]$Ccol1​​=A⎣⎡​132​⎦⎤​=1×⎣⎡​130​⎦⎤​+3×⎣⎡​221​⎦⎤​+2×⎣⎡​111​⎦⎤​=⎣⎡​9115​⎦⎤​

以此类推:

$C_{col_2} = \left[\begin{matrix} 7\\ 11\\ 9\end{matrix}\right]$Ccol2​​=⎣⎡​7119​⎦⎤​
$C_{col_3} = \left[\begin{matrix} 6\\ 12\\ 2\end{matrix}\right]$Ccol3​​=⎣⎡​6122​⎦⎤​

$C = \left[\begin{matrix} 9 & 7 & 6 \\ 11 & 11 & 12 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix}\right]$C=⎣⎡​9115​7113​6122​⎦⎤​

行向量*矩阵

$AB = C$AB=C : 矩阵$B$B行向量的线性组合

$C = \left[\begin{matrix}A_{row_1}B\\ A_{row_2}B \\ A_{row_3}B\end{matrix}\right]$C=⎣⎡​Arow1​​BArow2​​BArow3​​B​⎦⎤​

$C_{row_1} = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] = 1\times \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\end{matrix}\right]+2\times \left[\begin{matrix}3 & 2 & 1\end{matrix}\right]+1\times \left[\begin{matrix}2 & 1 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9 & 7 & 6\end{matrix}\right]$Crow1​​=[1​2​1​]⎣⎡​132​221​311​⎦⎤​=1×[1​2​3​]+2×[3​2​1​]+1×[2​1​1​]=[9​7​6​]

列*行

$AB = A_{col_1}B_{row_1} + A_{col_2}B_{row_2} + A_{col_3}B_{row_3}$AB=Acol1​​Brow1​​+Acol2​​Brow2​​+Acol3​​Brow3​​

$C_1 = A_{col_1}B_{row_1} = \left[\begin{matrix} 1\\ 3\\ 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$C1​=Acol1​​Brow1​​=⎣⎡​130​⎦⎤​[1​2​3​]=⎣⎡​130​260​390​⎦⎤​

$C_2 = A_{col_2}B_{row_2} = \left[\begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3 & 2 & 1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 6 & 4 & 2 \\ 6 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right]$C2​=Acol2​​Brow2​​=⎣⎡​221​⎦⎤​[3​2​1​]=⎣⎡​663​442​221​⎦⎤​

$C_3 = A_{col_3}B_{row_3} = \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$C3​=Acol3​​Brow3​​=⎣⎡​111​⎦⎤​[2​1​1​]=⎣⎡​222​111​111​⎦⎤​

$C = C_1 + C_2 + C_3 = \left[\begin{matrix} 9 & 7 & 6 \\ 11 & 11 & 12 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix}\right]$C=C1​+C2​+C3​=⎣⎡​9115​7113​6122​⎦⎤​

分块矩阵乘法

$A=\left[\begin{array}{c|c}A_1 & A_2 \\ \hline A_3 & A_4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c|c}B_1 & B_2 \\ \hline B_3 & B_4\end{array}\right]$A=[A1​A3​​A2​A4​​​],B=[B1​B3​​B2​B4​​​]

$AB = A=\left[\begin{array}{c|c}A_1B_1+A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4 \\ \hline A_3B_1+A_4B_3 & A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]$AB=A=[A1​B1​+A2​B3​A3​B1​+A4​B3​​A1​B2​+A2​B4​A3​B2​+A4​B4​​​]

矩阵的逆

$A$A为n阶段方阵,存在$XA = I, 则 X= A^{-1}$XA=I,则X=A−1, 如果$A$A的逆存在,$A$A也称作可逆矩阵或非奇异矩阵

例子: 判读矩阵的逆是否存在?
$AX = \left[\begin{matrix}1 & 2\\ 3 & 6\end{matrix}\right]X = \left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]$AX=[13​26​]X=[10​01​]

1. 画图
   
   由上图可知,$A$A的两个列向量共线,所以它们所有的线性组合都不能得到$I_{col_1}$Icol1​​,同理也不能得到$I_{col_2}$Icol2​​

2. 如果存在一个非0向量$\pmb x$xxx,使$A\pmb x=0$Axxx=0,则$A$A的逆不存在
   证明:

• 如果: 假设$A$A的逆存在
• 那么: $A^{-1}A \pmb x = 0$A−1Axxx=0
• 所以: $I\pmb x = 0$Ixxx=0,即$\pmb x = 0$xxx=0
• 因为: $\pmb x \neq 0$xxx​=0
• 所以: $A$A的逆不存在

计算$A$A的逆

列:$A = \left[\begin{matrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{matrix}\right]$A=[12​37​],求$A$A的逆矩阵?

设$A^{-1} = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix}\right]$A−1=[ac​bd​]

$AA^{-1} = \left[\begin{matrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]$AA−1=[12​37​][ac​bd​]=[10​01​]

计算矩阵的逆其实也是在求解方程组:

1. $a\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] + c\left[\begin{matrix}3 \\ 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right]$a[12​]+c[37​]=[10​]
2. $b\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] + d\left[\begin{matrix}3 \\ 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix}\right]$b[12​]+d[37​]=[01​]

方程组

1. $\left\{ \begin{array}{lr}a + 3c = 1\\ 2a + 7c= 0 \end{array}\right.${a+3c=12a+7c=0​

2. $\left\{ \begin{array}{lr}b + 3d = 0\\ 2b + 7d= 1 \end{array}\right.${b+3d=02b+7d=1​

消元法解方程组

1. 增广矩阵$[A|I] = \left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 7 & 0 & 1\end{matrix}\right]$[A∣I]=[12​37​10​01​]

2. $A \to U, \to \left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]$A→U,→[10​31​1−2​01​]

3. $A \to I, \to \left[\begin{matrix}1 & 0 & 7 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{matrix}\right]$A→I,→[10​01​7−2​−31​]

4. $A^{-1} = \left[\begin{matrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{matrix}\right]$A−1=[7−2​−31​],$a = 7, b=-3,c=-2,d=1$a=7,b=−3,c=−2,d=1

Why ?$[A|I] \to A\to U \to I \to [I|A^{-1}]$[A∣I]→A→U→I→[I∣A−1]

1. 矩阵消元&分块乘法

$(1).E[A|I]=[I|A^{-1}]$(1).E[A∣I]=[I∣A−1]

$(2).EA = I, EI = A^{-1}$(2).EA=I,EI=A−1