有限元基础及ANSYS应用 - 第9节 - 0 平面应力/平面应变问题简介

前面咱们讲的都是1维问题，下面咱们讲讲2维问题。实际上，所有的现实问题都是3维问题，可是在特定情况下，可以把它们简化为2维问题来分析。在弹性力学中，常见的有3类2维问题，即，平面应力、平面应变、轴对称问题。咱们讲下什么是平面应力和平面应变问题。

关于平面应力和平面应变更加详细的弹性力学推导，请参考：
https://wenku.baidu.com/view/c63e00c7aa00b52acfc7caf7.html

1 平面应力问题

对于一个薄板，即长度和宽度远远大于厚度的板，其边缘受平行于板面且不沿厚度方向变化的面力和体力，则可近似认为是平面应力问题。比如平板两端拉伸的问题，注意平板受弯曲的问题则不满足该条件，因其受力是垂直于板面的！

原本的6个应力$\sigma_x$σx​、$\sigma_y$σy​、$\sigma_z$σz​、$\tau_{xy}=\tau_{yx}$τxy​=τyx​、$\tau_{yz}=\tau_{zy}$τyz​=τzy​、$\tau_{zx}=\tau_{xz}$τzx​=τxz​，
平面应力状态下，z方向应力近似为0，即，对于上面的薄板受力状态而言，其上下表面是没有z方向的应力的！即$\sigma_z=0$σz​=0、$\tau_{zy}=0$τzy​=0、$\tau_{zx}=0$τzx​=0，
那么仅剩下$\sigma_x$σx​、$\sigma_y$σy​、$\tau_{xy}$τxy​三个应力，故而是平面应力状态！

2 平面应变问题

对于柱体，即长度远大于截面尺寸，柱面上承受平行于横截面且不沿长度方向变化的面力和体力，则可近似认为是平面应变问题。比如，水坝、厚壁圆筒、滚柱等问题。

由于z方向很长，其类似于周期边界，没有z方向的位移发生，所以z方向的应变$\epsilon_z=0$ϵz​=0、$\gamma_{zx}=0$γzx​=0、$\gamma_{zy}=0$γzy​=0。
如此，原本三维空间的6个应变量$\epsilon_x$ϵx​、$\epsilon_y$ϵy​、$\epsilon_z$ϵz​、$\gamma_{xy}=\gamma_{yx}$γxy​=γyx​、$\gamma_{yz}=\gamma_{zy}$γyz​=γzy​、$\gamma_{zx}=\gamma_{xz}$γzx​=γxz​仅剩下了xy平面上的3个量，即$\epsilon_x$ϵx​、$\epsilon_y$ϵy​、$\gamma_{xy}$γxy​，所以叫做平面应变问题。

3 平衡方程（应力方程）

$\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+X=0 \\ \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_y}{\partial y}+Y=0 \end{aligned} \right.$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​∂x∂σx​​+∂y∂τxy​​+X=0∂x∂τyx​​+∂y∂σy​​+Y=0​

4 几何方程（应变位移方程）

$\left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x} \\ \epsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x} \end{aligned} \right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ϵx​=∂x∂u​ϵy​=∂y∂v​γxy​=∂y∂u​+∂x∂u​​

5 物理方程（应力应变关系）

（1）平面应力情况

$\sigma_x$σx​、$\sigma_y$σy​、$\tau_{xy}$τxy​ 与$\epsilon_x$ϵx​、$\epsilon_y$ϵy​、$\gamma_{xy}$γxy​、$\epsilon_z$ϵz​的关系。
注意z方向没有应力，但是有个应变$\epsilon_z$ϵz​！

$\left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{1}{E}(\sigma_x-\mu\sigma_y) \\ \epsilon_y=\frac{1}{E}(\sigma_y-\mu\sigma_x) \\ \gamma_{xy}=\frac{2(1+\mu)}{E}\tau_{xy} \end{aligned} \right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ϵx​=E1​(σx​−μσy​)ϵy​=E1​(σy​−μσx​)γxy​=E2(1+μ)​τxy​​
$\epsilon_z$ϵz​的求法
$\epsilon_z=\frac{\mu}{E}(\sigma_x+\sigma_y)$ϵz​=Eμ​(σx​+σy​)

（2）平面应变情况

$\sigma_x$σx​、$\sigma_y$σy​、$\sigma_z$σz​、$\tau_{xy}$τxy​ 与$\epsilon_x$ϵx​、$\epsilon_y$ϵy​、$\gamma_{xy}$γxy​的关系。
注意z方向没有应变，但是有个应力$\sigma_z$σz​！

$\left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_x-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_y) \\ \epsilon_y=\frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_y-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_x) \\ \gamma_{xy}=\frac{2(1+\mu)}{E}\tau_{xy} \end{aligned} \right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ϵx​=E1−μ2​(σx​−1−μμ​σy​)ϵy​=E1−μ2​(σy​−1−μμ​σx​)γxy​=E2(1+μ)​τxy​​
$\sigma_z$σz​的求法
$\sigma_z=\mu(\sigma_x+\sigma_y)$σz​=μ(σx​+σy​)

不难发现，两者方程形式上是相同的，只是系数不同罢了！这也就是为什么它们放在一起讨论。

平衡方程2个 + 几何方程3个 + 物理方程3个 = 8个方程，未知量有8个，即$u$u、$v$v、$\epsilon_x$ϵx​、$\epsilon_y$ϵy​、$\gamma_{xy}$γxy​、$\sigma_x$σx​、$\sigma_y$σy​、$\tau_{xy}$τxy​，注意$\sigma_z$σz​和$\epsilon_z$ϵz​并不参加运算，其可由计算结果直接算出来。
那么方程组时封闭的，可解！

6 边界条件

受力边界条件
$\sigma_{ij}n_j=T_i$σij​nj​=Ti​
位移边界条件
$u_i=\overline u_i$ui​=ui​

7 有限元方法

单元及其形函数（三角单元、矩形单元），刚度矩阵推导等，较为复杂，不要求本科生掌握，故不再写出，感兴趣的可参考相关书籍资料。

咱们只要知道要分析的问题属于平面应力还是平面应变问题就好了，因为在ANSYS中，他们是用一个单元表示的，需要在单元属性中去指明是平面应力还是平面应变问题。