基本概念

随机变量

随机变量 ： 设随机试验$E$E的样本空间为$\Omega$Ω， 如果对于$\Omega$Ω内的每一个样本点$e$e都有一个实数x 与之对应， 则称$X$X为随机变量， 记为 $X= X(e).$X=X(e).

简言之， 随机变量就是定义在样本空间$\Omega$Ω上的样本点 e 的实值单值函数$X(e).$X(e).我们一般用大写字母如$X，Y，Z,\dots$X，Y，Z,…表示随机变量 。

随机变量的分类 ：
$随机变量 \begin{cases} 离散型 \\ 非离散型 \begin{cases} 连续型 \\ 其他 \end{cases} \end{cases}$随机变量⎩⎪⎨⎪⎧​离散型非离散型{连续型其他​​

不要误以为 ， 一个随机变量如果不是离散型就是连续型的.实际上还存在非离散非连续型的 。

随机变量的取值是有概率规律的， 这种概率规律叫做随机变量的概率分布.在概率分布的描述上，离散型随机变量和连续型随机变量所采用的方法是不同的.前者主要采用列举法， 后者主要采用积分法.

离散型随机变量

离散型随机变量

若随机变量$X$X的全部可能取值是有限个或可列个， 则称$X$X为离散型随机变量.

分布律

离散型随机变量$X$X所有可能取值为$x_k(k=1,2,\cdots),$xk​(k=1,2,⋯), 事件$\{X=x_k\}${X=xk​}的概率为$P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots),$P{X=xk​}=pk​(k=1,2,⋯),这里有$0\leq p_k\leq 1,$0≤pk​≤1,并且$\sum_kp_k=1$k∑​pk​=1则 称 $P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots)$P{X=xk​}=pk​(k=1,2,⋯)为$X$X的分布律或分布列。

分布律也可以写成表格形式:

$X$X	$x_1$x1​	$x_2$x2​	$\cdots$⋯	$x_k$xk​	$\cdots$⋯
$P$P	$p_1$p1​	$p_2$p2​	$\cdots$⋯	$p_k$pk​	$\cdots$⋯

性质

离散型随机变量 x的分布律的性质：

1. $P\{X=x_k\}=p_k\geq0(k=1,2,\cdots)$P{X=xk​}=pk​≥0(k=1,2,⋯)
2. $\sum_kP\{X=x_k\}=\sum_kp_k=1$k∑​P{X=xk​}=k∑​pk​=1

几个重要的离散型随机变量

(0—1) 分布

设随机变量 X只可能取 0 与1 两个值， 它的分布律是 $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1,0<p<1$P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1,0<p<1

$X$X	0	1
$p_k$pk​	$1-p$1−p	$p$p

(0 — 1) 分布是经常遇到的一种分布， 用来描述只有两种对应结果的伯努利试验（ 如成功与失败， 合格与不合格， 出现与不出现等）.这些时候我们可以定义一个服从（0 — 1) 分布的随机变量:
$X= \begin{cases} 0,A不发生\\ 1,A发生 \end{cases}$X={0,A不发生1,A发生​

二项分布

伯努利试验

设试验$E$E只有两种可能结果,A 及$\overline{A}$A， 则$E$E称为伯努利试验.若将试验$E$E独立地重复进行$n$n次， 则称这个试验为$n$n重伯努利试验.

二项分布

在$n$n重伯努利试验中,若$P(A)= p，P(\overline{A})= 1—p.$P(A)=p，P(A)=1—p.记X为$n$n次试验中事件A 发生的次数,显然$X$X是一个随机变量， 它的取值为$ 0,1,2,\dots,n.$它的分布律为
$P\{X = k\}= C^k_np^k(1 —p)^{n-k} ，k = 0，1， 2， \dots,n,$P{X=k}=Cnk​pk(1—p)n−k，k=0，1，2，…,n,
称 X服从参数为$n,p$n,p的二项分布,记为
$X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)

二项分布与(0 — 1)分布有着密切关系

1. 在二项分布中， 若$n=1,$n=1, 二项分布就变成 (0 — 1) 分布；

2. 在$n$n次伯努利试验中， 若只考虑某一次试验，比如第$i$i次试验， 可定义随机变量$X_i$Xi​如下：
   $X_i= \begin{cases} 1,当A_i发生时\\ 0,当\overline{A_i}发生时 \end{cases},i=1,2,\cdots,n,$Xi​={1,当Ai​发生时0,当Ai​​发生时​,i=1,2,⋯,n,

   $X_i$Xi​服从（ 0 — 1) 分 布. 对前面的$X$X,显然有$X=\sum_{i=1}^{n}X_i.$X=∑i=1n​Xi​.而$X$X服从二项分布.所以说:$n$n个服从(0-1)分布的且相互独立的随机变量$X_i$Xi​的和服从二项分布.

泊松分布

泊松分布的定义

对于常数$\lambda>0$λ>0,如果随机变量 $X$X的分布律为
$P\{X=k\}=\frac {\lambda^ke^k}{k!},k=0,1,2,\cdots,$P{X=k}=k!λkek​,k=0,1,2,⋯,
则称$X$X服从参数为 A 的泊松分布， 记为$X\sim B(\lambda)$X∼B(λ).

泊松定理

设有$X\sim B(n,p_n)$X∼B(n,pn​)和常数$\lambda> 0,$λ>0,如果$np_n=\lambda,$npn​=λ,则
$\lim_{n\to \infty} C^k_np^k_n(1-p_n)^{n-k}=\frac {\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots.$n→∞lim​Cnk​pnk​(1−pn​)n−k=k!λke−λ​,k=0,1,2,⋯.

①泊松定理说明,当$n\to \infty$n→∞时,二项分布的极限分布为泊松分布.这从理论上说明了泊松分布的来源.

另一方面也表明 ， 当 $n$n很大很大时，二项分布可以用泊松分布近似代替.

实践中， 对$X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)的情况， 当$n\geq50,np\leq10$n≥50,np≤10时,记$\lambda=np.$λ=np.则有
$C^k_np^k(1-p)^{n-k}\approx\frac {\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.$Cnk​pk(1−p)n−k≈k!λke−λ​.

② 具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的， 如一本书一页中的印刷错误字数、 一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数 、 电影院的观众数 ， 等等. 泊松分布也是概率论中的一种重要分布.

超几何分布

超几何分布定义

KaTeX parse error: No such environment: align at position 57: …{N}^{n}} \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ ,k=0,1,2,\cdot…

随机变量 X 服从参数为$n， N，M $的超几何分布， 记为$的超几何分布，记为X\sim H( n，N，M)$

超几何分布的含义

有 $N$N个球， 其中有 $M$M个白球，$N—M$N—M个黑球.从中取出$n$n个球， 取到 $k$k个白球的概率.

几何分布

几何分布定义

$P \{ X = k \} = q^{k-1}p,k = 1,2,3，\cdots，$P{X=k}=qk−1p,k=1,2,3，⋯， 其中$p\geq0,q=1-p.$p≥0,q=1−p.随机变量$X$X服从参数为$p$p的几何分布， 记为$X\sim G(p).$X∼G(p).

几何分布的背景

每次 A 发生的概率为$p,$p,而直到第$k$k次才出现A.

随机变量的分布函数

分布函数

设 $X$X 是一个随机变量$,x$,x是任意实数， 函数
$F(x)=P\{X\leq x\},-\infty<x<\infty$F(x)=P{X≤x},−∞<x<∞

称为$X$X的分布函数.

分布函数的性质

1. 单调性:$F(x)$F(x)是一个单调不减的函数， 即当$x_1<x_2$x1​<x2​时$,F(x_1)\leq F(x_2);$,F(x1​)≤F(x2​);

2. 有界性 :
   $0\leq F(x_1)\leq 1,且\\ F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1;\\ F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0;$0≤F(x1​)≤1,且F(+∞)=x→+∞lim​F(x)=1;F(−∞)=x→−∞lim​F(x)=0;

3. 连续性:$F(x+0)=F(x),$F(x+0)=F(x),即$F(x)$F(x)是右连续函数.

用分布函数表示概率:

$P\{X=a\}=P\{X\leq a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0)\\ P\{X>a\}=1-P\{X\leq a\}=1-F(a)\\ P\{a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X\leq a\}=F(b)-F(a)\\ P\{a<X<b\}=P\{X<b\}-P\{X\leq a\}=F(b-0)-F(a)\\ P\{a\leq X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<a\}=F(b)-F(a-0)\\ P\{a\leq X<b\}=P\{X<b\}-P\{X<a\}=F(b-0)-F(a-0)\\$P{X=a}=P{X≤a}−P{X<a}=F(a)−F(a−0)P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}=F(b)−F(a)P{a<X<b}=P{X<b}−P{X≤a}=F(b−0)−F(a)P{a≤X≤b}=P{X≤b}−P{X<a}=F(b)−F(a−0)P{a≤X<b}=P{X<b}−P{X<a}=F(b−0)−F(a−0)

离散型随机变量$X$X的分布律与分布函数和事件概率的关系

1. 如果已知$X$X的分布律为$P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots),$P{X=xk​}=pk​(k=1,2,⋯),则$X$X的分布函数
   $F(x)=P\{X\leq x\}=\sum_{x_k\leq x}p_k;$F(x)=P{X≤x}=xk​≤x∑​pk​;
   而事件的概率为
   $P\{a<X\leq b\}=\sum_{a<x_k\leq b}p_k.$P{a<X≤b}=a<xk​≤b∑​pk​.

2. 如果已知$X$X的分布函数$F(x),$F(x),则$X$X的分布律为
   $P\{X=x_k \}=F( x_ k ) — F ( x_ k — 0),k=1,2,\cdots,$P{X=xk​}=F(xk​)—F(xk​—0),k=1,2,⋯,

$F(x)$F(x) 的值是$X=x$X=x点的左边(含$x$x点）全部所有点概率值的累加和.

$F(x)$F(x)的图形是右升的台阶形， 每个台阶处的跃度等于$X$X取该值的概率.基于这点 ， 由$X$X的分布函数的图形可以求出$X$X的分布律

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量

如果对于随机变量$X$X的分布函数$F(x),$F(x),存在非负函数$f(x),$f(x),使对于任意实数$x$x有
$F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt},$F(x)=∫−∞x​f(t)dt,
则称$X$X为连续型随机变量， 其中函数$f(x)$f(x)称为$X$X的概率密度函数， 简称概率密度.

概率密度的性质

1. $f(x)\geq 0;$f(x)≥0;

2. $\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1;$∫−∞+∞​f(x)dx=1;

3. 对于任意实数$x_1,x_2(x_1\leq x_2),$x1​,x2​(x1​≤x2​),
   $P\{x_1<X\leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x1}^{x2}{f(x)dx;}$P{x1​<X≤x2​}=F(x2​)−F(x1​)=∫x1x2​f(x)dx;

4. $f(x)$f(x)若在点$x$x处连续，则有$F'(x)=f(x).$F′(x)=f(x).

常见连续型随机变量

均匀分布

均匀分布定义

若连续型随机变量$X$X具有概率密度
$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, \text{a<x< b} \\ 0, \text{其他，} \end{cases}$f(x)={b−a1​,a<x< b0,其他，​
则称 X 在区间$(a,b)$(a,b)上服从均匀分布. 记为$X\sim U(a,b).$X∼U(a,b).

$X$X的分布函数为
$f(x)= \begin{cases} 0, x<a，\\ \frac{1}{b-a},a\leq x< b,\\ 1, x\geq b \end{cases}$f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,x<a，b−a1​,a≤x<b,1,x≥b​

均匀分布的性质

若$(c,d)\subset(a,b),$(c,d)⊂(a,b),则有
$P\{c\leq X\leq d\}=\frac{d-c}{b-a}(几何概率).$P{c≤X≤d}=b−ad−c​(几何概率).

指数分布

指数分布定义

若连续型随机变量 $X$X 的概率密度为
$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, x>0，\\ 0,x\leq 0.\\ \end{cases}$f(x)={λe−λx,x>0，0,x≤0.​
其中$\lambda>0$λ>0为常数，则称$X$X服从参数为$\lambda$λ的指数分布.

$X$X的分布函数为$F(x)= \begin{cases} 0, x>0，\\ 1-e^{-\lambda x},x\leq 0.\\ \end{cases}$F(x)={0,x>0，1−e−λx,x≤0.​

指数分布的性质(无记忆性）

若$X\sim E(\lambda),$X∼E(λ),则对任何正数$x,x_0,$x,x0​,必有
$P\{X>x+x_0\mid X>x_0\}=P\{X>x\}.$P{X>x+x0​∣X>x0​}=P{X>x}.

指数分布常用作描述一些电子元件的使用寿命,当$x>0$x>0时$,P\{X>x\}=e^{-\lambda x}$,P{X>x}=e−λx

记住积分公式$\int_{0}^{+\infty}{x^ne^{-x}dx}=n!$∫0+∞​xne−xdx=n!对指数分布的计算很有帮助， 可能减少许多积分过程.

正态分布

正态分布定义

若连续型随机变量$X$X的概率密度函数为
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(-\infty<x<+\infty),$f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​(−∞<x<+∞),
其中的正态分布$\mu$μ与$\sigma>0$σ>0都是常数,则称服从参数为$\mu$μ与$\sigma$σ的正态分布.简记为$X\sim N(\mu,\sigma^2).$X∼N(μ,σ2).

正态分布的性质

1. $f(x)$f(x)的图形关于$x =\mu$x=μ对称;

2. 当$x =\mu$x=μ时，$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$f(μ)=2π​σ1​为最大值.

   $X$X的分布函数为
   $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int _{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt.$F(x)=2π​σ1​∫−∞x​e−2σ2(t−μ)2​dt.

标准正态分布

当$\mu=0,\sigma=1$μ=0,σ=1时称随机变量$X$X服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用$\varphi(x),\Phi(x)$φ(x),Φ(x)表示，即有
$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}},\\ \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int _{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt.$φ(x)=2π​σ1​e−2t2​,Φ(x)=2π​σ1​∫−∞x​e−2t2​dt.

标准正态分布的性质

1. $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$Φ(−x)=1−Φ(x)且$\Phi(0)=\frac {1}{2}$Φ(0)=21​此性质在计算和查表时都是很有用的.

2. 若$X\sim N(\mu,\sigma^2),$X∼N(μ,σ2),则$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$Z=σX−μ​∼N(0,1).

   $X$X得到$Z$Z这种做法叫正态分布的标准化步骤.解决正态分布的计算问题最重要的， 首先要考虑的就是对$X$X进行标准化.

3. $X\sim N(\mu,\sigma^2),$X∼N(μ,σ2), 则
   $P\{a\leq X\leq b\}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}).$P{a≤X≤b}=Φ(σb−μ​)−Φ(σa−μ​).
   特例：
   $P\{\mu-k\sigma\leq X\leq \mu+k\sigma\}\\ =\Phi(\frac{\mu+k\sigma-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{\mu-k\sigma-\mu}{\sigma})\\ =\Phi(k)-\Phi(-k)\\ =2\Phi(k)-1$P{μ−kσ≤X≤μ+kσ}=Φ(σμ+kσ−μ​)−Φ(σμ−kσ−μ​)=Φ(k)−Φ(−k)=2Φ(k)−1

它的等价形式为
$P\{\mid X-\mu\mid\leq k\sigma\}=2\Phi(k)-1$P{∣X−μ∣≤kσ}=2Φ(k)−1
此概率值与$\mu,\sigma$μ,σ大小无关,只与$k$k的数值有关.

$k$k	$P\{\mid X-\mu\mid\leq k\sigma\}$P{∣X−μ∣≤kσ}
1	0.6826
2	0.9544
3	0.9974

随机变量的函数的分布

这里要解决的问题是： 已知随机变量$X$X的分布$,Y=g(X),g$,Y=g(X),g是连续函数,求随机变量$Y$Y的分布.

离散型随机变量函数的分布

设随机变量 X 的 分布律为$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots,$P{X=xk​}=pk​,k=1,2,⋯, 则当$Y=g(X)$Y=g(X)的所有取值为:$y_j(j=1,2,\cdots)$yj​(j=1,2,⋯)时, 随机变量$Y$Y有分布律
$P\{Y=y_j\}=\sum_{g(x_i)=y_j}P\{X=x_i\}.$P{Y=yj​}=g(xi​)=yj​∑​P{X=xi​}.

连续型随机变量函数的分布

分布函数法

设随机$X$X的慨率密度函数为$f_X(x)(-\infty<x<+\infty),$fX​(x)(−∞<x<+∞),那么$Y=g(X)$Y=g(X)的分布函数为
$F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=\int_{g(x)\leq y}{f_X(x)dx},$FY​(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=∫g(x)≤y​fX​(x)dx,
其概率密度为$f_Y(y)=F'_Y(y).$fY​(y)=FY′​(y).

公式法

设随机变量$X$X具有概率密度函数$f_X(x)(-\infty<x<+\infty),g(x)$fX​(x)(−∞<x<+∞),g(x)为$(-\infty<x<+\infty)$(−∞<x<+∞)内的严格单调的可导函数,则随机变量$Y=g(X)$Y=g(X)的概率密度为
$f_Y(y)= \begin{cases} f_X[h(y)]\mid h'(y)\mid,\alpha<y<\beta\\ 0,其他.\\ \end{cases}$fY​(y)={fX​[h(y)]∣h′(y)∣,α<y<β0,其他.​
其中$h(y)$h(y)是$g(x)$g(x)的反函数,
$\alpha=min\{g(-\infty),g(+\infty)\},\\ \beta=max\{g(-\infty),g(+\infty)\}$α=min{g(−∞),g(+∞)},β=max{g(−∞),g(+∞)}
其分布函数为$F_Y(y)=\int^{y}_{-\infty}{f_Y(t)dt}.$FY​(y)=∫−∞y​fY​(t)dt.

典型例题

一维随机变量的分布函数

一维离散型随机变量的计算

二项分布与超几何分布

袋中装有6个大小相同的球,4个红色,2个白色.现从中连取5次,每次取一球，求取得红球的个数X的分布律:
(1)每次取出球观察颜色后，即放回袋中,拌匀后再取下一个球;
(2)每次取出球观察颜色后,不放回袋中,再取下一个球.

解:

(1) 随机变量X服从二项分布，则$X\sim (5,\frac{2}{3})$X∼(5,32​)故
$P\{X = k\}= C^k_5(\frac{2}{3})^k(\frac{1}{3})^{5-k} ，k = 0，1， 2，3,4,5,$P{X=k}=C5k​(32​)k(31​)5−k，k=0，1，2，3,4,5,
因此X的分布律为

$X$X	0	1	2	3	4	5
$p_k$pk​	$\frac{1}{243}$2431​	$\frac{10}{243}$24310​	$\frac{40}{243}$24340​	$\frac{80}{243}$24380​	$\frac{80}{243}$24380​	$\frac{32}{243}$24332​

(2)随机变量$X$X服从超几何分布,故
$P\{X=k\}=\frac {C_4^k·C_{6-4}^{5-k}}{C _{6}^{5}},k=3,4$P{X=k}=C65​C4k​⋅C6−45−k​​,k=3,4
因此$X$X的分布律为

$X$X	3	4
$p_k$pk​	$\frac{2}{3}$32​	$\frac{1}{3}$31​

几何分布

一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的，有一只鸟自开着的窗子飞入房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。鸟飞向各扇窗子都是随机的。
(1)假定鸟是没有记忆的，以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律;
(2)户主称,他养的鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次，以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律.
解：

(1) X服从几何分布,每次只能从开着的窗子飞出去，飞出去的概率为$\frac{1}{3}，$31​，因此$X$X的分布律为
$P \{ X = k \} = (\frac{2}{3})^{k-1}\frac{1}{3}(k = 1,2,\cdots).$P{X=k}=(32​)k−131​(k=1,2,⋯).
(2)当鸟是有记忆的时,由题意,Y的可能取值为1,2.3.
Y=1,表明鸟从3扇窗子中选对了1扇,因对鸟面言.3扇窗是等可能的$,P\{Y=1\}=\frac{1}{3}$,P{Y=1}=31​
Y=2,表明鸟第1次试飞失败概率为$\frac{2}{3},$32​,第二次，鸟舍弃已飞过的那扇窗，而从余下的一开一关两扇窗中选一，成功机会为$\frac{1}{2}$21​,故$P\{Y=2\}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$P{Y=2}=32​×21​=31​
Y=3,表明鸟第1次试飞失败概率为$\frac{2}{3},$32​,第二次，鸟舍弃已飞过的那扇窗，而从余下的一开一关两扇窗中选一，失败机会为$\frac{1}{2}$21​,第三次从剩下的唯开着的窗子飞出，成功的概率为1.故$P\{Y=3\}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{3}$P{Y=3}=32​×21​×1=31​
因此Y的分布律为

Y	1	2	3
$p_k$pk​	$\frac{1}{3}$31​	$\frac{1}{3}$31​	$\frac{1}{3}$31​

泊松分布

由商店过去的销售记录知道，某商品每月的销售数可以用参数λ=10的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在上一个月底至少应进某种商品多少件?
解：

设该商店每月销售某种商品X件,X服从参数λ= 10的泊松分布,故

$P\{X=k\}=\frac {10 ^ke^k}{k!},k=0,1,2,\cdots,$P{X=k}=k!10kek​,k=0,1,2,⋯,
设月底的进货为a件，则当$X\leq a$X≤a时就不会脱销,因而按题意要求为$P\{X\leq a\}\geq 0.95,$P{X≤a}≥0.95,
即
$\sum_{k=0}^{a}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}>0.95,$k=0∑a​k!10ke−10​>0.95,
由泊松分布表可得
$\sum_{k=0}^{14}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}\approx 0.9166<0.95,\\ \sum_{k=0}^{15}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}\approx 0.9513>0.95.$k=0∑14​k!10ke−10​≈0.9166<0.95,k=0∑15​k!10ke−10​≈0.9513>0.95.
于是,这家商店只要在月底进货某种商品15件(假定上个月没存货),就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.

一维连续型随机变量的计算

均匀分布

设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。

总长度：3

小于3的长度：1

$P_{(X的取值小于3)}$P(X的取值小于3)​=$\frac{1}{3}$31​

指数分布

某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从$\lambda=1/2000$λ=1/2000的指数分布。
求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；
(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。

正态分布

一维随机变量函数的分布

公式法

分布函数法

本章小结

随机变量的分布函数、概率分布的概念、性质及其关系。

利用概率分布及分布函数计算有关事件的概率。

六种常用分布：即0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布。

随机变量函数的分布。

重点与难点

重点

1. 随机变量的分布函数概念及性质。
2. 概率分布（离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的概率密度）的概念及性质。
3. 概率分布与分布函数的关系及正态分布的有关计算。
4. 简单随机变量函数的分布。

难点

1. 随机变量的分布函数、概率分布及其关系。
2. 随机变量函数的分布。