威沙特分布和逆威沙特分布（Wishart 分布及逆 Wishart 分布）

Wishart 分布

Wishart 分布是用来描述多元正态分布样本的协方差矩阵的。Wishart 分布的随机变量是一个随机矩阵。

定义

假设$X$X是一个$n*p$n∗p的矩阵，其中，每一行$X_{i}$Xi​服从多元正态分布：
$X_{i} \backsim N_{p}(0,\Sigma)$Xi​∽Np​(0,Σ)
也就是每一个样本$X_{i}$Xi​服从$p$p维的正太分布。
令
$A = \sum_{i}X_{i}^TX_{i}$A=i∑​XiT​Xi​
则随机矩阵$A$A（$p*p维$p∗p维）就是wishart分布的随机变量。
$A$A也常被称作是散度矩阵：
$A \backsim W_{p}(n, \Sigma)$A∽Wp​(n,Σ)
$n$n是自由度。

逆Wishart分布

如果一个正定矩阵$B$B的逆矩阵$B^{-1} \backsim W_{p}(n, \Sigma)$B−1∽Wp​(n,Σ)，那么称$B \backsim W_{p}^{-1}(n, \Sigma)$B∽Wp−1​(n,Σ)

Inverse-Wishart分布常作为Bayes中多元正态分布的协方差阵的共轭先验分布

假设$X \in R^{n*p}， X_{i} \backsim N_{p}(0, \Sigma)， \Sigma \backsim W_{p}^{-1}(m, \Omega)$X∈Rn∗p，Xi​∽Np​(0,Σ)，Σ∽Wp−1​(m,Ω)
那么$\Sigma$Σ后验分布：
$\Sigma|data \backsim W_{p}^{-1}(m+n, A+\Omega)，A = \sum_{i}X_{i}^{T}X_{i}=nS$Σ∣data∽Wp−1​(m+n,A+Ω)，A=i∑​XiT​Xi​=nS