梯度下降算法

• 最小化代价函数J
• 梯度下降
  
  • 使用全机学习最小化
• 首先查看一般的J()函数
• 问题
  
  • 我们有J(θ0, θ1)
  • 我们想获得 min J(θ0, θ1)
• 梯度下降适用于更一般的功能
  
  • J(θ0, θ1, θ2 …. θn)
  • min J(θ0, θ1, θ2 …. θn)

这一算法如何工作？：

• 从初始假定开始
  
  • 从0,0开始（或任何其他值）
  • 保持一点点的改变θ0和θ1，来试图减少
• 每次更改参数时，可以选择这降低了梯度J(θ0, θ1)的最可能的
• 重复
• 这样做直到你收敛到局部的最低点
• 有一个有趣的性质
  
  • 你开始的位置可以确定你最终的最低点
    
  • 这里我们可以看到一个初始化点产生一个局部最小值
  • 另一个初始化点产生了另一个局部最小值

更正式的定义

• 重复以下步骤直到收敛
  
• 这是什么意思？
  
  • 通过将θj设置为θj减去α倍的局部成本函数对于θj的导数
• 符号
  
  • ：=
    
    • 表示赋值
    • NB a = b是 真实断言
• α (alpha)
  
  • 是一个叫做学习速率的数字
  • 控制你采取的更新速度有多大
    
    • 如果α大，则具有较大的下降幅度
    • 如果α小，则幅度较小
• 导数
  
  - 之后详细解释
• 一个巧妙的实现梯度下降算法的实现
  
  • 如下处理θ0和θ1
  • For j = 0 and j = 1 意味着同时更新θ0和θ1的值
• 如何实现？
  
  • 为θ0和θ1计算等式右手侧
    
    • 所以我们需要一个临时值
  • 然后，更新θ0和θ1的同时
    
    • 我们以图形方式显示
      
• 如果您实现非同步更新，则不是梯度下降，并且会出现异常
  
  • 但它可能看起来是对的 - 所以重要的是要记住这一点！
• 了解算法
  
  • 要了解梯度下降，我们将返回一个更简单的函数，我们最小化一个参数来帮助更详细地解释算法
• 当θ1是一个实数时 ，min θ1 J(θ1)
• 算法中的两个关键术语
  
  • α（alpha)
• 细微差别
  - 偏导与导数
  - 当我们有多个变量但是只相对于一个变量导出时，使用偏导数
  - 当我们相对于所有变量导出时，使用导数
• 微分项
  
  
  • 导数说明
  • 在这一点做切线并观察切线斜率
  • 所以向下移动会生成一个负导数，α总是正的。因此更新j(θ1) 到一个更小的值。
  • 类似的，向上移动会使得j(θ1) 更大
• alpha（α）
  
  • 如果alpha太小或太大，会发生什么
    
    • 太小
      
      • 步进太小
      • 太耗时了
    • 太大了
    • 可能错过最小值，最终不能收敛
• 当你获得一个局部最小值
  
  • 此处切线斜率\导数为0
  • 因此微分项也为0
  • alpha*0=0
  • 则θ1=θ1-0
  • θ1将保持不变
• 当您接近全局最小值时，导数项变小，所以即使alpha固定，您的更新也会变小
  
  • 随着算法的运行，当您接近最小值时，您将采取较小的步骤
  • 所以不需要随着时间的推移来改变alpha

梯度下降的线性回归

• 应用梯度下降来最小化平方差代价函数J(θ0, θ1)
• 现在我们有一个偏导数
  
• 现在我们展开第一对表达式、
  
  • J(θ0, θ1) = 1/2m….
  • hθ(x) = θ0 + θ1*x
• 当我们需要决定每个参数的导数时：
  
  • When j = 0
  • When j = 1
• 标识出针对于θ0和θ1的偏导数
  
  • 当我们根据j = 0和j = 1对这个表达式求导时，我们得到以下结果
    
• 要检查这个，你需要知道多元微积分
  
  • 所以我们可以将这些值重新插入梯度下降算法
• 它是如何工作的
  
  • 遇到不同的局部最优的风险
  • 线性回归代价函数总是一个凸函数 - 总是有一个最小值
    
    • 碗型曲面
    • 一个全局最优
      
      • 因此梯度下降总会收敛到全局最优
        
        • 实践中
    • 初始化：
      
      • θ0 = 900
      • θ1 = -0.1

• 最终达到全局最低点
  
  • 这实际上是批量梯度下降
  • 指的是在每个步骤中，您可以查看所有的培训数据
    
    • 每个步骤计算m个训练样例
  • 有时，非批次版本存在，它们查看小数据子集
    
    • 我们将在课程的后面研究其他形式的梯度下降（当m太大时使用）
• 存在用于找到最小函数的解的数值解
  
  • 正则方程 法
  • 渐变下降可以更好地扩展到大型数据集
  • 用于大量的语境和机器学习

下一步 - 重要的扩展

两个算法的扩展

1. 数值解的正则方程

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• 为了解决[min J(θ0,θ1)]这个最小化问题，我们使用精确地数值方法而不是不断迭代梯度下降的方法
• 正则方程法
• 有优缺点
  
  • 优点
    
    • 不再是Alpha术语
    • 对于一些问题可以快一些
  • 坏处
    
    • 更复杂

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1. 我们可以学习更多的功能

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我们可以学习更多的函数

• 所以可能有其他参数有助于价格
  
  • 例如与房屋
    
    • 尺寸
    • 年龄
    • 卧室数字
    • 楼层数
  • x1，x2，x3，x4
• 有多个功能变得很难绘制
  
  • 不能真正绘制在三维以上
  • 符号也变得更加复杂
    
    • 绕过这个最好的方法是线性代数的符号
    • 提供符号和一系列可以使用矩阵和向量的事物
    • 例如矩阵
      
      
• 我们在这里看到这个矩阵显示了我们
  
  • 尺寸
  • 卧室数量
  • 楼层数
  • 家庭年龄
• 所有数据都在一个变量中
  
  • 数字块，将所有数据组织成一个大块
• 向量
  
  • 显示为y
  • 向我们显示价格
• 需要线性代数来获得更复杂的线性回归模型
• 线性代数对于制作计算效率高的模型是有好处的（如后所述）
  
  • 提供使用大量数据集的好方法
  • 通常，问题的向量化是常见的优化技术