第7章 特征值与特征向量 矩阵的标准型

• 定义 7.1 欧氏空间V(R)$V(R)$的一个线性变换σ$\sigma$称为正交变换，如果∀α,β∈V$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in V$，都有

  (σ(α),σ(β))=(α,β)$$(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$$
  或者
  |σ(α)|=|α|$$|\sigma (\alpha )|=|\alpha |$$

  原内积=像的内积
  原长度=像的长度
  <α,β>=arccos(α,β)|α||β|$<\alpha ,\beta >=arccos\frac{(\alpha ,\beta )}{|\alpha ||\beta |}$，所以夹角不变

• 定义 7.2 欧氏空间V(R)的正交变换σ$\sigma$关于V的单位正交基所对应的矩阵A称为正交矩阵

• 定义 7.3 n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=E$A^{T}A=E$。
  正交矩阵相关性质：
  （1）A−1=AT$A^{-1}=A^T$，且AT$A^T$也是正交矩阵
  （2）|A|=1或−1$|A|=1\text{或}-1$
  （3）AB是正交矩阵，则BA也是

• Schmidt正交化
  

• 定理 7.1 若A可逆，则存在正交矩阵Q和主对角为正数的上三角矩阵R，使得

  A=QR$$A=QR$$

  通过Schmidt正交化证明

• 定理 7.4 设线性变换σ∈L(V,V)$\sigma \in L(V,V)$，B1={α1,⋯,αn}$B_1=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$和B2={β1,⋯,βn}$B_2=\{{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\}$是线性空间V(F)的两组基，基B1$B_1$变为基B2$B_2$的变换矩阵是C，如果σ$\sigma$在基B1$B_1$下的矩阵是A，则σ$\sigma$在基B2$B_2$下的矩阵是B=C−1AC$B=C^{-1}AC$，称A相似于B，记作A∼B$A\sim B$

• 定义 7.5 设σ$\sigma$是线性空间V(F)的一个线性变换，如果存在数λ$\lambda$和非零向量ζ∈V$\zeta \in V$，使得

  σ(ζ)=λζ$$\sigma (\zeta )=\lambda \zeta$$
  则称数λ$\lambda$是σ$\sigma$的一个特征值，ζ$\zeta$是σ$\sigma$的属于其特征值λ$\lambda$的特征向量。

• 定理 7.6 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即
  

  |λE−A|=|λE−B|$$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$$

  矩阵相似可以看作同一映射在不同基下的矩阵表示。特征值肯定是相同的。

• m个特征子空间的和是直和，即
  

  dim(Vλ1+⋯+Vλm)=∑j=1mdimVλj$$dim(V_{{\lambda }_1}+\cdots +V_{{\lambda }_m})=\sum _{j=1}^{m}dim{V}_{{\lambda }_j}$$

• 直和：W1∩W2$W_1\cap W_2$=0，则

  W1+W2={α|α=α1+α2,α1∈W1,α2∈W2}$$W_1+W_2=\{\alpha |\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1\in W_1,{\alpha }_2\in W_2\}$$
  叫做W1与W2$W_1与W_2$的直和

α=α1+α2$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$唯一
交0
分解只能0=0+0$0=0+0$
dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$
这四个命题等价

如果有限维线性空间V(F)的线性变换σ$\sigma$在V的某个基下的对应矩阵是对角阵，则称σ$\sigma$是可对角化的线性变换。同样与对角阵相似的矩阵A称为可对角化矩阵。

• 定理7.8 A可对角化⟺$⟺$A有n个线性无关的特征向量

• 实对称矩阵A的特征值都是实数

• 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的

• 若A是一个n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

  Q−1AQ=diag(λ1,⋯,λn)$$Q^{-1}AQ=diag({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$$

  证明：A至少存在一个特征值（且是实数）（|λE−A|=0$|\lambda E-A|=0$，至少有n个根，包括重根。肯定有解λ1${\lambda }_1$。有解就表明零空间维度>0，存在非零的特征向量），所以至少存在相应的非零特征向量。之后用归纳法证明。
  说明实对称矩阵一定可对角化

• 实对称矩阵A有XTAX>0$X^{T}AX>0$恒成立，则A是正定矩阵。其相合于对角元大于0的对角阵。

• 做坐标变换X=CY$X=CY$，得到二次型f=YT(CTAC)Y$f=Y^T(C^{T}AC)Y$，不影响正定性。C是可逆矩阵

• 正定⟺$⟺$A的n个顺序主子式都大于0