最大熵与正态分布
最大熵与正态分布
Question
已知随机分布的均值和方差，求使得熵最大的概率分布。
求解
首先将问题翻译成数学语言：
其中p(x)为概率分布密度函数，信息熵表示变量的确定性程度，熵越大确定性程度越低，也即表示未知越多。在信息论中，最大熵原理是一个非常重要的原则，也是奥卡姆剃刀原则在信息论中的应用，用一句通俗的话讲，就是如果你不知道事件的真相，那么你只能按照已知的信息去推测所有的可能和可能性，而不是直接去脑补。
这是一个很常见的变分问题，可以使用乘子法求解：
最后我们得到了正态分布，这正好从侧面解释了自然界偏好正态分布，是因为正态分布可以在均值和方差确定的情况使得信息熵最大。
Conclusions
- 若已知一个随机变量的取值空间，那么熵最大的分布是均匀分布；
- 若已知一个随机变量的均值和方差，那么熵最大的分布则是正态分布；
- 在现实中，我们通常很容易统计到一个变量的均值和方差，难怪自然界偏好正态分布；
- 我们又得到了一个获得正态分布的方法 – 从信息熵最大的角度获得正态分布。