在本文中，我们通过一个名为WinBUGS的免费贝叶斯软件，可以很容易地完成基于似然的多变量随机波动率（SV）模型的估计和比较。通过拟合每周汇率的双变量时间序列数据，九个多变量SV模型，包括波动率中的格兰杰因果关系，时变相关性，重尾误差分布，加性因子结构和乘法因子结构的说明来说明想法。

单变量随机波动率（SV）模型为ARCH类型模型提供了强有力的替代方案，可以解释波动率的条件和无条件属性。

多元SV模型

金融资产收益的程式化事实

考虑到多变量SV模型对于描述金融资产收益的动态最有用，我们首先总结一些记录良好的金融资产收益的程式化事实：

资产收益分配是leptokurtic。
资产收益率波动率集群。
退货是交叉相关的。
波动性是交叉依赖的。
有时，一种资产格兰杰的波动导致另一种资产的波动（即，波动性从一个市场蔓延到另一个市场）。
通常存在较低维度因子结构，其可以解释大部分相关性。
相关性是随时间变化的。

除了这七个风格化的事实之外，诸如参数空间的维数和协方差矩阵的正半确定性之类的问题具有实际重要性。当我们审查现有模型并介绍我们的新模型时，我们将评论它们处理程式化事实和上述两个问题的适当性。

为了说明替代多变量SV模型之间的差异和联系，我们关注本文中的双变量情况。特别是，我们考虑了九种不同的双变量SV模型（带粗体的首字母缩略词），其中两种是文献的新手。此外，这些规范中的大多数都适用于多维概括，而模型5是唯一的例外。

对于t = 1，...，T，将在时间t观察到的（平均居中的）对数返回表示为y t =（y 1t，y 2 t）' 。让ε 吨 =（ε 1 吨，ε 2 吨）'，η 吨 =（η 1 吨，η 2 吨）'，μ =（μ 1，μ 2）'，ħ 吨 =（ħ 1 吨，ħ 2，t ）'，Ω 吨 = DIAG（EXP（ħ 吨 / 2）），和 WinBUGS对多元随机波动率模型：贝叶斯估计与模型比较

模型1（基本MSV或MSV）。 WinBUGS对多元随机波动率模型：贝叶斯估计与模型比较与ħ 0 = μ。该模型相当于将两个基本单变量SV模型堆叠在一起。显然，该规范不允许跨越收益或波动率之间的相关性，也不允许Granger因果关系。但是，它确实允许leptokurtic回报分布和波动率聚类。

模型2（恒定相关MSV或CC-MSV）。 WinBUGS对多元随机波动率模型：贝叶斯估计与模型比较与ħ 0 = μ。在该模型中，允许返回冲击相关，因此该模型类似于Bollerslev的常数条件相关（CCC）ARCH模型。因此，回报是相互依赖的。

模型3（具有格兰杰因果关系或GC-MSV的MSV）。 WinBUGS对多元随机波动率模型：贝叶斯估计与模型比较与ħ 0 = μ和φ 12 = 0。由于φ 21可以是不同于零，第二资产的波动允许是格兰杰由第一资产的波动。因此，收益率和波动率都是相互依赖的。然而，波动率的交叉依赖性是通过格兰杰因果关系和波动率聚类共同实现的。此外，当两个φ 12和φ 21是非零，在两种资产之间波动双边Granger因果关系是允许的。据我们所知，该规范是SV文献的新增内容。

使用WinBUGS进行贝叶斯估计

第2.2节中的模型通过对所有未知参数a =（a 1，...，a p）的先验分布的规范来完成。例如，在模型1（MSV）中，p = 6并且未知参数的矢量a是 WinBUGS对多元随机波动率模型：贝叶斯估计与模型比较。贝叶斯推断基于模型中所有未观察量θ的联合后验分布。矢量θ包括未知参数和潜在对数波动率的矢量，即θ =（a，h 1，...，h T）。

经验说明

数据

在本节中，我们将介绍的模型与实际财务时间序列数据相匹配。从1994年1月到2003年12月，所使用的数据是每周519次澳大利亚元和新西兰元的平均修正对数回报率。这两个系列的选择是因为这两个经济体彼此紧密相连，因此事先预计两种汇率之间的依赖性很强。这两个系列在图中绘制，其中回报和波动率的交叉依赖性确实显得很强。

澳元和新西兰元/美元汇率回报的时间序列图。

结果

我们报告前六个模型的后验分布的平均值，标准误差和95％可信区间以及最后三个模型的后验分布，以及为九个中的每一个生成100次迭代的计算时间。

模型8（AFactor-t-MSV）中d，μ和φ 的边际分布的曲线图和密度估计值。

σ的边缘分布的密度估计η，σ ε1 ，和σ ε2在模型8（AFactor叔MSV）。

ν的边缘分布的密度估计1，ν 2，和ω在模型8（AFactor叔MSV）。

所有模型的DIC

为了理解更好的规范的含义，我们获得了模型8（AFactor-t-MSV）和模型5（DC-MSV）的波动率和相关性的平滑估计。

模型5（DC-MSV）的交换率波动率和时变相关性的平滑估计。

平滑因子的波动率估计和模型8（因子-t-MSV）的时变相关性。

结论

在本文中，我们提出通过WinBUGS使用贝叶斯MCMC技术估计和比较多变量SV模型。MCMC是一种功能强大的方法，与其他方法相比具有许多优势。不幸的是，编写用于估计多变量SV模型的第一个MCMC程序并不容易，并且比较替代的多变量SV规范在计算上是昂贵的。WinBUGS强加了一个简短而敏锐的学习曲线。在双变量设置中，我们表明其实现简单且计算速度相当快。此外，处理丰富的规格也非常灵活。然而，由于WinBUGS提供单动Gibbs采样算法，正如人们所预料的那样，我们发现混合通常很慢，因此需要长采样。