CQF笔记M1L4随机分析和伊藤引理

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 2 Stochastic Calculus and Itˆo’s Lemma

由于金融市场潜在的随机本质（假设），随机分析在金融过程的数据建模中非常重要。

抛硬币实验

规则：抛出正面赢1元，抛出反面输1元，概率都是$\frac{1}{2}$21​，任意抛硬币的行为相互独立

$\begin{aligned} R_i= \begin{cases} 1, if \ H\\ -1, if \ T\\ \end{cases} \end{aligned}$Ri​={1,if H−1,if T​​

$\begin{aligned} & E(R_i) = 1 \times \frac{1}{2}+(-1) \times \frac{1}{2} = 0 \\ & V(R_i) = 1^2 \times \frac{1}{2}+(-1)^2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ & E(R_iR_j|i \neq j) = 0 \\ \end{aligned}$​E(Ri​)=1×21​+(−1)×21​=0V(Ri​)=12×21​+(−1)2×21​=1E(Ri​Rj​∣i​=j)=0​

考察抛$i$i次硬币之后的现金总和$\begin{aligned} S_i = \sum_{j=1}^{i} R_j, S_0 = 0 \end{aligned}$Si​=j=1∑i​Rj​,S0​=0​

$\begin{aligned} & E(S_i) = 0 \\ & V(S_i) = E(S_i^2) = \sum_{m=1}^{i}\sum_{n=1}^{i}E(R_mR_n) = \sum_{n=1}^{i}E(R_n^2) = i \\ \end{aligned}$​E(Si​)=0V(Si​)=E(Si2​)=m=1∑i​n=1∑i​E(Rm​Rn​)=n=1∑i​E(Rn2​)=i​

条件期望$\begin{aligned} & E(S_6 | R_1, \cdots, R_5) = S_5 \\ \end{aligned}$​E(S6​∣R1​,⋯,R5​)=S5​​
备注：第五次抛出硬币后，第六次自身的期望为0，因此条件期望等于第五次的现金数量

马可夫属性 Markov property

随机变量$S_i$Si​的所有过去时间的条件分布，只依赖于上一时刻的值$S_{i-1}$Si−1​

• Markov property表示随机游走没有记忆
• 不要求随机变量$S_i$Si​的期望值与上一时刻$S_{i-1}$Si−1​的期望相同（似乎也并没有要求条件期望与上一时刻的期望相同）
• 更一般化一些，对于$1 \le j \lt j$1≤j<j, 只有含有信息的最大的$j$j对应的$S_j$Sj​，对估计$S_i$Si​是有用的（有信息的）

鞅属性 martingale property

鞅属性的定义$\begin{aligned} & E(S_i | S_j, j < i) = S_j \\ \end{aligned}$​E(Si​∣Sj​,j<i)=Sj​​

站在$j$j时刻看未来的$i$i时刻，$i$i时刻的条件期望

二次变分 Quadratic variation

二次变分的定义$\begin{aligned} & Q = \sum_{j=1}^{i} (S_j - S_{j-1})^2 \\ \end{aligned}$​Q=j=1∑i​(Sj​−Sj−1​)2​

由于抛硬币的$(S_j - S_{j-1})^2 = 1$(Sj​−Sj−1​)2=1, 所以$Q=i$Q=i

布朗运动 Brownian motion

修改抛硬币实验的规则：

• 抛6次，总时长为$t$t, 则单次实验的时长为$t/6$t/6
• 赌注从$1$1改为$\sqrt{t/6}$t/6​

二次变分 $\begin{aligned} & Q = \sum_{j=1}^{6} (S_j - S_{j-1})^2 = 6 (\sqrt{\frac{t}{6}})^2 = t\\ \end{aligned}$​Q=j=1∑6​(Sj​−Sj−1​)2=6(6t​​)2=t​

假设抛$n$n次，总时长仍然是$t$t, 赌注改为$\sqrt{t/n}$t/n​, 二次变分 $Q$Q仍然等于$t$t

当逐渐增加$n$n, 步长以$n^{-1}$n−1的速度下降, 而赌注以$n^{-1/2}$n−1/2的速度下降

当$n=\infin$n=∞时
$\begin{aligned} & E[S(t)] = E[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}R_i] = 0 \\ & V[S(t)] = E[S(t)^2] = t \end{aligned}$​E[S(t)]=E[n→∞lim​i=1∑n​Ri​]=0V[S(t)]=E[S(t)2]=t​

$\begin{aligned} E[S(t)^2] = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}E(R_iR_j) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}E(R_i^2) = \lim_{n \to \infty} n \times \frac{t}{n} = t \end{aligned}$E[S(t)2]=n→∞lim​i=1∑n​j=1∑n​E(Ri​Rj​)=n→∞lim​i=1∑n​E(Ri2​)=n→∞lim​n×nt​=t​

这种随机游走称为布朗运动，记为$X(t)$X(t), 布朗运动有如下性质：

• $X(0) = x_0 = 0$X(0)=x0​=0
• Finiteness: 赌注随时间的平方根增长
• Continuity: 路径连续
• Markov: 在给定的$\tau$τ时刻，$\tau \lt t$τ<t, $X(t)$X(t)的条件分布仅依赖$X(\tau)$X(τ)
• Martingale: 在给定的$\tau$τ时刻, $\tau \lt t$τ<t, $X(t)$X(t)的条件期望是$X(\tau)$X(τ)
• Normality: 在有限时间$t_{i-1}$ti−1​到$t_i$ti​, $X(t_i) - X(t_{i-1}) \sim N(0, t_i - t_{i-1})$X(ti​)−X(ti−1​)∼N(0,ti​−ti−1​), $dX \sim N(0, dt)$dX∼N(0,dt)

将$X_t$Xt​看做随机游走的最终结果
$X_t \sim N(0, t)$Xt​∼N(0,t), 即$X_t = \phi \sqrt{t}, \phi ~ N(0, 1)$Xt​=ϕt​,ϕ N(0,1)

$X$X的增量
$dX \sim N(0, dt)$dX∼N(0,dt), 即$dX = \phi \sqrt{dt}$dX=ϕdt​

随机变量的函数

$F(X)=X^2$F(X)=X2

随机变量的微分

随机世界的两个变量：时间$t$t和布朗运动$X$X

$dX$dX是$\sqrt{dt}$dt​的同阶无穷小，因此远大于$dt$dt。

考虑梯度、斜率、微分、敏感性时，要非常小心，因为这些会使$dt$dt趋向于0

因此在随机世界中，使用随机微分方程:$dF=\cdots dt + \cdots dX$dF=⋯dt+⋯dX

普通的微积分法则不适用于随机世界
假设$F(X)=X^2$F(X)=X2, 则$dF \neq 2XdX$dF​=2XdX

泰勒级数和伊藤引理

简单泰勒展开，忽略高阶项
$\begin{aligned} F(X+dX)=F(X)+\frac{dF}{dX}dX + \frac{1}{2}\frac{d^2F}{dX^2}dX^2 \end{aligned}$F(X+dX)=F(X)+dXdF​dX+21​dX2d2F​dX2​

移项，得到
$\begin{aligned} dF=\frac{dF}{dX}dX + \frac{1}{2}\frac{d^2F}{dX^2}dX^2 \end{aligned}$dF=dXdF​dX+21​dX2d2F​dX2​

$dX^2$dX2在时间步长逐渐变小为$dt$dt时，等于其均值$dt$dt, 也就是说没有随机性。
这里似乎能说得通，但是没有严格证明，按照同样的逻辑$dX$dX应该等于$\sqrt{dt}$dt​

RULE OF THUMB一般指拇指规则。拇指规则(RULE OF THUMB) ，中文又译为“大拇指规则 ”，又叫”经验法则“，是一种可用于许多情况的简单的，经验性的，探索性的但不是很准确的原则。

这里得到$dX^2=dt$dX2=dt是Rule of thumb
似乎这就是伊藤引理的结论

对于$F=X^2$F=X2, 带入泰勒级数
$\begin{aligned} & \frac{dF}{dX} = 2X \\ & \frac{d^2F}{dX^2} = 2 \\ & dF = dt + 2XdX \\ \end{aligned}$​dXdF​=2XdX2d2F​=2dF=dt+2XdX​
这是随机微分方程的一个例子

随机微分方程

随机微分方程用于建模随机量，例如股价。
这种随机量，例如股价，可以分解为确定性（可预测）和随机性两部分。

确定性部分用$dt$dt建模，随机性部分用$dX$dX建模: $dS = f(S,t) \ dt + g(S,t) \ dX$dS=f(S,t) dt+g(S,t) dX
其中$f(S,t)$f(S,t)称为growth rate或者drift, $g(S,t)$g(S,t)与S的波动率有关。

带漂移的简单布朗运动

$dS = \mu dt + \sigma dX$dS=μdt+σdX

这种形式的S可能为负值

带随机漂移的简单布朗运动

$dS = \mu S dt + \sigma S dX$dS=μSdt+σSdX

如果$S$S的初值为正数，则$S$S永远不可能变为负数，因为$S$S越接近$0$0时，$dS$dS的漂移项越接近0

假设$\sigma = 0$σ=0, 变成普通的微分方程，求解得到$S_t = S_0 e^{\mu t}$St​=S0​eμt

均值复归的随机游走

$dS = (\nu - \mu S)dt + \sigma dX$dS=(ν−μS)dt+σdX

当$S$S变大到$dt$dt的系数为负时, $S$S的均值会变小

用$r$r替换$S$S, 就是短期利率的 Vasicek model

短期利率的Cox, Ingersoll & Ross model

$dS = (\nu - \mu S)dt + \sigma S^{1/2} dX$dS=(ν−μS)dt+σS1/2dX

当S接近0时，随机性会变小
这个微分方程在后面很重要

系数都是$t$t的函数

$dW = g(t)dt + f(t)dW$dW=g(t)dt+f(t)dW

这个SDE是下面随机积分的shorthand

$W(t) = \int_0^t g(\tau)d\tau + \int_0^t f(\tau)dX(\tau)$W(t)=∫0t​g(τ)dτ+∫0t​f(τ)dX(τ)

mean square limit

用在随机积分中

考察随机量
$\begin{aligned} &E[(\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 - t)^2] \ where t_j = jt/n \\ = &E[\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^4 + 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \lt i}^{n} (X(t_i) - X(t_{i-1}))^2 (X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 - 2t\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 + t^2] \\ = & n \frac{3t^2}{n^2} + n(n-1)\frac{t^2} {n^2}-2tn\frac{t}{n}+t^2 \\ \sim &O(\frac{1}{n}) \end{aligned}$==∼​E[(j=1∑n​(X(tj​)−X(tj−1​))2−t)2] wheretj​=jt/nE[j=1∑n​(X(tj​)−X(tj−1​))4+2i=1∑n​j<i∑n​(X(ti​)−X(ti−1​))2(X(tj​)−X(tj−1​))2−2tj=1∑n​(X(tj​)−X(tj−1​))2+t2]nn23t2​+n(n−1)n2t2​−2tnnt​+t2O(n1​)​

推导过程中有个隐含前提$X(t_j) - X(t_{j-1}) \sim N(0, t/n)$X(tj​)−X(tj−1​)∼N(0,t/n), 其二阶矩（方差）为$t/n$t/n, 四阶矩为$3t^2/n^2$3t2/n2

当$n \to \infin$n→∞时前面计算的随机量等于0

在mean square limit 均方极限语境下，认为$\sum_{j=1}^{n}(X(t_j) - X(t_{j-1})^2 = t$∑j=1n​(X(tj​)−X(tj−1​)2=t, 记做: $\int_0^t (dX)^2 = t$∫0t​(dX)2=t

后续的证明中，提到相等equality，都指的是均方极限语境