模糊数学学习笔记 4：模糊关系与模糊聚类

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1. 模糊关系

定义：模糊关系 $R$R 的隶属函数 $\mu_R:U\times V\to[0,1]$μR​:U×V→[0,1]，其中 $\mu_R(x,y)$μR​(x,y) 表示 $(x,y)$(x,y) 具有关系 $R$R 的程度

Remarks：实际上模糊关系 $R$R 就是定义在一个笛卡尔积的论域 $U\times V$U×V 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

基本运算定义为：

• 并：$\boldsymbol{\mu}_{R \cup S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \vee \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$μR∪S​(x,y)=μR​(x,y)∨μS​(x,y)
• 交：$\boldsymbol{\mu}_{R \cap S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \wedge \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$μR∩S​(x,y)=μR​(x,y)∧μS​(x,y)
• 补：$\mu_{\bar{R}}(x,y)=1-\mu_R(x,y)$μRˉ​(x,y)=1−μR​(x,y)
• 包含：$\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \leq \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$R⊆S⇒μR​(x,y)≤μS​(x,y)
• 相等：$\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$R=S⇒μR​(x,y)=μS​(x,y)

一些模糊关系有：

• 恒等模糊关系：$R(x,y)=\mathbb{I}_{x=y}$R(x,y)=Ix=y​
• 零模糊关系：$O(x,y)=0$O(x,y)=0
• 全称模糊关系：$E(x,y)=1$E(x,y)=1

2. 模糊矩阵

2.1 定义

对于有限论域 $U,V$U,V，模糊矩阵的定义很容易可以获得 $R_{ij}=\mu_R(x_i,y_j)$Rij​=μR​(xi​,yj​)

当 $R$R 的对角元素全部为 1 时，称为模糊自反矩阵

模糊矩阵对应于集合的运算定义为：

• 并：$\boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \vee \boldsymbol{s}_{i j}\right)$R∪S⇔R∪S=(rij​∨sij​)
• 交：$\boldsymbol{R} \cap \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \wedge \boldsymbol{s}_{i j}\right)$R∩S⇔R∪S=(rij​∧sij​)
• 补：$R^c=(1-r_{ij})$Rc=(1−rij​)
• 包含：$\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) \leq\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)$R⊆S⇔(rij​)≤(sij​)
• 相等：$\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) =\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)$R=S⇔(rij​)=(sij​)

2.2 运算性质

2.3 截矩阵

截矩阵的定义为 $R_\lambda=(r_{ij}(\lambda))$Rλ​=(rij​(λ))，其中 $r_{ij}(\lambda)=\mathbb{I}_{r_{ij}\ge\lambda}$rij​(λ)=Irij​≥λ​

Remarks：截矩阵的定义对应着截集的概念，截集得到的是普通集合，响应的截矩阵也是布尔矩阵，完全没有不确定度。

2.4 模糊关系合成

转置：略

模糊乘积：设 $Q=(q_{ij})_{n\times m},R=(r_{ij})_{m\times t}$Q=(qij​)n×m​,R=(rij​)m×t​，定义 $S=QR\in\mathcal{F}_{n\times t}$S=QR∈Fn×t​，有 $S_{ik}=\vee_{j=1}^m(q_{ij}\wedge r_{jk})$Sik​=∨j=1m​(qij​∧rjk​)

Remarks：模糊乘积实际上表示了两个模糊关系的复合，即 $Q\in\mathcal{F}(U\times V),R\in\mathcal{F}(V\times W)$Q∈F(U×V),R∈F(V×W)，最后合成了模糊关系 $S\in\mathcal{F}(U\times W)$S∈F(U×W)。从公式上来看，模糊矩阵的乘积跟普通矩阵的乘积很像，只不过乘法换成了 $\wedge$∧，加法换成了 $\vee$∨。

模糊关系的合成具有以下性质：

3. 模糊关系性质

3.1 自反性、对称性、传递性

就像普通集合的关系一样，模糊集合有三个重要性质：自反性、对称性、传递性。

自反性：若 $\forall x\in U,\mu_R(x,x)=1$∀x∈U,μR​(x,x)=1，则称 $R$R 满足自反性，相应的有模糊矩阵 $I\subseteq R$I⊆R

定理 1：若 $A$A 为自反矩阵，则有
$I\subseteq A \subseteq A^2 \subseteq \cdots \subseteq A^n \subseteq \cdots$I⊆A⊆A2⊆⋯⊆An⊆⋯
对称性：若 $\forall x,y\in U,\mu_R(x,y)=\mu_R(y,x)$∀x,y∈U,μR​(x,y)=μR​(y,x)，则称 $R$R 满足对称性，相应的有模糊矩阵 $R^T=R$RT=R

传递性：$\mu_R(x,z)\ge\vee_y (\mu_R(x,y)\wedge\mu_R(y,z))$μR​(x,z)≥∨y​(μR​(x,y)∧μR​(y,z))，则称 $R$R 满足传递性，相应的有模糊矩阵 $R^2\subseteq R$R2⊆R

定理 2：若 $Q$Q 为传递矩阵，则有
$Q \supseteq Q^{2} \supseteq Q^{3} \supseteq \cdots \supseteq Q^{\mathbf{n}-1} \supseteq Q^{\mathbf{n}} \supseteq \cdots$Q⊇Q2⊇Q3⊇⋯⊇Qn−1⊇Qn⊇⋯

3.2 模糊相似关系与等价关系

模糊相似关系：$R\in F(U\times U)$R∈F(U×U)，满足自反性和对称性

模糊等价关系：$R\in F(U\times U)$R∈F(U×U)，满足自反性、对称性和传递性