Spherical linear interpolation for Quaternions (四元数的球面插值计算)

在pbrt中介绍四元数的时候，看到有介绍 四元数的 球面插值公式 的推导，在这里记录一下：

公式1 ：

公式1推导：

如图，

目的就是为了求 vt，其实观察得到

vt = k0 * v0 + k1 * v1

看图得到， k0v0 对应的就是蓝色的那条边，k1v1 对应的就是红色的那条边。

注意，k1v1 与 v1 是平行的,v0,v1,vk都是单位向量

所以下面就是要求 k0,k1.

对于k1v1为斜边的直角三角形应用三角公式得：

那就是绿色的那条边(x)对应了2个三角形，根据三角形公式可以得到：

sin(tw) = x / vt

sin(w) =  x /  k1v1

由于 v0,v1,vk都是单位向量

所以：

sin(tw) = x 

sin(w) =  x /  k1

得到

k1 = sin(tw) / sin(w)

下面再来 计算 k0

如图， 红色的那条是两个三角形共有的，绿色的那条是与 k0v0平行，并且长度一致的，

红色的是x,

那么就可以得到

sin((1-t)w) = x / vt

sin(w) = 红色 / 绿色 = x /  k0v0

因为v0,v1,vk都是单位向量

所以就可以得到：

sin((1-t)w) = x 

sin(w) =  x /  k0

k0 = sin((1-t)w) /  sin(w)

那么 k0,k1都可以计算了，最后的 vt也可以得到了。