CQF笔记M1L2二叉树模型

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 2 Binomial Model

二叉树模型是简化的期权定价模型，不需要复杂的随机分析stochastic calculus

无风险组合

标的为股票的次日到期的看涨期权

假设条件
利率为0

符号

$V$V：期权价格（二叉树模型的目标就是求出V）
$S$S：今日股价
$K$K：期权行权价
$p$p：股价上涨概率
$S_u$Su​：上涨价格
$S_d$Sd​：下跌价格
期权$Payoff=Max(S-K, 0)$Payoff=Max(S−K,0)

用股票和期权构建资产无风险组合，无论价格下跌还是上涨，组合价值不发生变化

实例

$S=100, K=100, p=0.6, S_u=101, S_d=99$S=100,K=100,p=0.6,Su​=101,Sd​=99

组合中有一份期权，做空$N$N份股票，则

• 当日组合的价值为$V-N \times S = V - 100N$V−N×S=V−100N
• 次日价格上升，组合的价值为$Max(S_u-K, 0) - NS_u = 1 - 101N$Max(Su​−K,0)−NSu​=1−101N
• 次日价格上升，组合的价值为$Max(S_d-K, 0) - NS_d = -99N$Max(Sd​−K,0)−NSd​=−99N

由于利率为0，三个式子应该相等，
由$1 - 100N = -99N$1−100N=−99N可得N=0.5，
由$V - 100N = -99N$V−100N=−99N可得V=0.5

由于使用股票对期权对冲，股价上涨概率$p$p对期权价格没有影响，也就是不关心股票价格是上涨还是下跌，但是股价的波动率对期权价值有很大的影响，也就是只关心变化幅度，不关心变化方向

为什么（二叉树模型的）理论价格是市场价格

如果不是，会产生无风险套利机会（也是理论上的），相应的买卖行为会导致市场价格回归到理论价格
股价上涨概率$p=0.6$p=0.6的影响（期权Payoff的期望值为0.6）：
期权的买方：
1. 大于0.6，不会有人买入
2. 0.5和0.6之间，投机者会买入，因为有正的期望收益
3. 小于0.5，不管是投机者还是对冲者都会买入
期权的卖方：
1. 大于0.5，确定会卖出
2. 小于0.5，不会卖出

对冲系数$\Delta$Δ

$\Delta$Δ表示用多少份股票和一份期权可以组成无风险资产

$\begin{aligned} \Delta=\frac{Payoff(S_u, K) - Payoff(S_d, K)}{S_u - S_d} \end{aligned}$Δ=Su​−Sd​Payoff(Su​,K)−Payoff(Sd​,K)​​

利率

$(V - \Delta S) = (Payoff(S_d, K) - \Delta S_d)e^{-rt}$(V−ΔS)=(Payoff(Sd​,K)−ΔSd​)e−rt

风险中性世界risk-neutral worlds

完全市场

完全市场中期权是多余的
期权、股票、现金三者中，任意两个可以复制出第三个

真实世界的特性：

• delta对冲和消除风险
• 风险厌恶
• 不通过期望值对期权定价

风险中性世界的特性：

• 不关心风险（不因为承担风险而要求额外的回报）
• 不需要评估事件发生的概率
• 用期望值对所有事物定价

风险中性概率

风险中性概率是一个假想概率，使得$S = (p'S_u + (1-p')S_d)e^{-rt}$S=(p′Su​+(1−p′)Sd​)e−rt
风险中性期望$V = (p'Payoff(S_u, K) + (1-p')Payoff(S_d, K))e^{-rt}$V=(p′Payoff(Su​,K)+(1−p′)Payoff(Sd​,K))e−rt

二叉树模型求解

符号
$S_u = uS, S_d = dS, 0 \lt d \lt 1 \lt u$Su​=uS,Sd​=dS,0<d<1<u
$u$u是上涨因子
$d$d是下跌因子
$p$p是上涨概率

目标是通过$\mu, \sigma$μ,σ表示$u, d, p$u,d,p

均值等式

• 由离散时间的资产价格模型（对数正态分布）$S_{i+1} - S_i = \mu S_i \delta t + \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t}$Si+1​−Si​=μSi​δt+σSi​ϕδt​得到，每期价格均值变化为$\mu S \delta t$μSδt
• 由二叉树模型，每期的价格均值变化为$puS+(1-p)dS-S$puS+(1−p)dS−S
• 由此得到第一个等式$\mu S \delta t=puS+(1-p)dS-S$μSδt=puS+(1−p)dS−S

方差等式

• 由资产价格模型得到方差为$\sigma^2 S^2 \delta t$σ2S2δt
• 由二叉树模型得到方差为$p(puS - mean)^2 + (1-p)((1-p)dS - mean)^2$p(puS−mean)2+(1−p)((1−p)dS−mean)2
• 由此得到第二个等式

两个方程三个未知数，选择一组近似解：

$u = 1 + \sigma \sqrt{\delta t}$u=1+σδt​
$d = 1 - \sigma \sqrt{\delta t}$d=1−σδt​
$\begin{aligned} p = 0.5 + \frac {\mu \sqrt{\delta t}}{2 \sigma} \end{aligned}$p=0.5+2σμδt​​​

资产组合

$t$t时刻资产组合$\Pi = V - \Delta S$Π=V−ΔS
$t+\delta t$t+δt时刻，组合的价值为$V^+-\Delta uS \ or \ V^- - \Delta d S$V+−ΔuS or V−−ΔdS,
由$V^+-\Delta uS \ = \ V^- - \Delta d S$V+−ΔuS = V−−ΔdS得到$\begin{aligned} \Delta=\frac {V^+ - V^-}{(u-d)S} \end{aligned}$Δ=(u−d)SV+−V−​​
由$\begin{aligned} V - \Delta S = \frac{1}{1+r\delta t} (V^+-\Delta uS)\end{aligned}$V−ΔS=1+rδt1​(V+−ΔuS)​得到
$\begin{aligned} V &= \frac {V^+ - V^-}{(u-d)} + \frac{1}{1+r\delta t} \frac{uV^- - dV^+}{u-d} \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{u-d} ((1+r\delta t)(V^+ - V^-) + uV^- - dV^+) \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\delta t}} ((1+r\delta t)(V^+ - V^-) + (1 + \sigma \sqrt{\delta t})V^- - (1 - \sigma \sqrt{\delta t})V^+) \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} [(0.5 + \frac {r \sqrt{\delta t}}{2 \sigma})V^+ + (0.5 - \frac {r \sqrt{\delta t}}{2 \sigma})V^-] \end{aligned}$V​=(u−d)V+−V−​+1+rδt1​u−duV−−dV+​=1+rδt1​u−d1​((1+rδt)(V+−V−)+uV−−dV+)=1+rδt1​2σδt​1​((1+rδt)(V+−V−)+(1+σδt​)V−−(1−σδt​)V+)=1+rδt1​[(0.5+2σrδt​​)V++(0.5−2σrδt​​)V−]​
令$\begin{aligned} p'=0.5 + \frac {r \sqrt{\delta t}}{2 \sigma} \end{aligned}$p′=0.5+2σrδt​​​得到
$\begin{aligned} V = \frac{1}{1+r\delta t} (p'V^+ + (1-p')V^-) \end{aligned}$V=1+rδt1​(p′V++(1−p′)V−)​

两个概率形式一样，$p$p用实际收益率drift rate $\mu$μ，$p'$p′用利率$r$r，$p'$p′称为风险中性概率
$\begin{aligned} p = 0.5 + \frac {\mu \sqrt{\delta t}}{2 \sigma} \end{aligned}$p=0.5+2σμδt​​​
$\begin{aligned} p'=0.5 + \frac {r \sqrt{\delta t}}{2 \sigma} \end{aligned}$p′=0.5+2σrδt​​​

无风险利率$r$r的两个作用：

• 折现
• 资产价格drift rate

风险中性概率和风险中性世界可以理解为一种简化建模的方法：通过调整概率，将风险厌恶程度调整为0

多期二叉树

股价二叉树：从第一期开始，往后计算，每期使用相同的参数$u, d, p$u,d,p
期权价格二叉树：计算最后一期Payoff，倒数第二期的价格使用最后一期Payoff的期望

Black-Scholes Equation

连续时间 $\delta t \rightarrow 0$δt→0

$u = 1 + \sigma \sqrt{\delta t}$u=1+σδt​
$v = 1 - \sigma \sqrt{\delta t}$v=1−σδt​

$\begin{aligned} V^+ &= V(uS, t + \delta t) = V(1 + \sigma \sqrt{\delta t})S, t + \delta t) \\ &\approx V(S, t) + \frac{\partial V}{\partial t} \delta t + \frac{\partial V}{\partial S} \sigma \sqrt{\delta t} S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \delta t S^2 + o(\delta t) \end{aligned}$V+​=V(uS,t+δt)=V(1+σδt​)S,t+δt)≈V(S,t)+∂t∂V​δt+∂S∂V​σδt​S+21​∂S2∂2V​σ2δtS2+o(δt)​

$\begin{aligned} V^- &= V(vS, t + \delta t) = V(1 - \sigma \sqrt{\delta t})S, t + \delta t) \\ &\approx V(S, t) + \frac{\partial V}{\partial t} \delta t - \frac{\partial V}{\partial S} \sigma \sqrt{\delta t} S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \delta t S^2 + o(\delta t) \end{aligned}$V−​=V(vS,t+δt)=V(1−σδt​)S,t+δt)≈V(S,t)+∂t∂V​δt−∂S∂V​σδt​S+21​∂S2∂2V​σ2δtS2+o(δt)​

$\begin{aligned} \Delta &= \frac{V^+ - V^-}{(u-v)S} \\ &= \frac{V(1 + \sigma \sqrt{\delta t})S, t + \delta t) - V(1 - \sigma \sqrt{\delta t})S, t + \delta t)}{2\sigma \sqrt{\delta t}} \\ &\approx \frac{\partial V}{\partial S} \end{aligned}$Δ​=(u−v)SV+−V−​=2σδt​V(1+σδt​)S,t+δt)−V(1−σδt​)S,t+δt)​≈∂S∂V​​

期权价格
$\begin{aligned} V &= \frac {V^+ - V^-}{(u-d)} + \frac{1}{1+r\delta t} \frac{uV^- - dV^+}{u-d} \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{u-d} ((1+r\delta t)(V^+ - V^-) + uV^- - dV^+) \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\delta t}} ((1+r\delta t)(V^+ - V^-) + (1 + \sigma \sqrt{\delta t})V^- - (1 - \sigma \sqrt{\delta t})V^+) \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\delta t}} [r\delta t (V^+ - V^-) + \sigma \sqrt{\delta t} (V^+ + V^-)] \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\delta t}} [r\delta t \times 2 \frac{\partial V}{\partial S} \sigma \sqrt{\delta t} S + \sigma \sqrt{\delta t} \times 2( V + \frac{\partial V}{\partial t} \delta t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \delta t S^2)] \\ &= \frac{1}{1+r\delta t} [r\delta t \frac{\partial V}{\partial S} S + V + \frac{\partial V}{\partial t} \delta t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \delta t S^2] \\ \end{aligned}$V​=(u−d)V+−V−​+1+rδt1​u−duV−−dV+​=1+rδt1​u−d1​((1+rδt)(V+−V−)+uV−−dV+)=1+rδt1​2σδt​1​((1+rδt)(V+−V−)+(1+σδt​)V−−(1−σδt​)V+)=1+rδt1​2σδt​1​[rδt(V+−V−)+σδt​(V++V−)]=1+rδt1​2σδt​1​[rδt×2∂S∂V​σδt​S+σδt​×2(V+∂t∂V​δt+21​∂S2∂2V​σ2δtS2)]=1+rδt1​[rδt∂S∂V​S+V+∂t∂V​δt+21​∂S2∂2V​σ2δtS2]​

移项可得到 Black-Scholes equation
$\begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 \end{aligned}$∂t∂V​+21​σ2S2∂S2∂2V​+rS∂S∂V​−rV=0​