第二章----矩阵知识点汇总
2.1 矩阵概念
行列式，列数=行数。矩阵，行数不等于列数。
实矩阵，复矩阵。
方阵，行数=列数，n阶方阵，An。
所有元素的符号都取相反数，A，-A，复矩阵，复数。
如果一个矩阵主对角线全是1，剩余的地方全是0，称之为单位矩阵，记作E或I，E用的多一些。E3,3阶单位阵。
只有一行一列，一个元素，不再写矩阵符号。
一个数的行列式等于这个数本身。
同型矩阵，例：A和B都为3行5列
矩阵相等的前提是同型矩阵。
两个零矩阵不一定相等。（形状不一定相等）
方阵，主对角线、次对角线；不是方阵，没有主对角线，没有次对角线。
2.2 矩阵运算
加法：对应元素相加。（只有同型矩阵才能相加减）
减法：
5条运算律：
- A+B=B+A
- (A+B)+C=A+(B+C)
- A+0=A(零矩阵，默认条件，同型矩阵)
- A+（-A）=0
- A+B=C推出A=C-B
数乘：
k乘所有的元素。
- 提公因子：所有元素都有k，公因子向外提一次。
- 比较：行列式一行提一次。
k（A+B）=kA+kB
（k+l）=kA+lA
klA=k（lA）
矩阵乘法：
- 相乘的条件，及结果的形状。
- AB一般不等于BA，有时候AB=BA，则称AB是可交换的。
- AB有意义，BA不一定有意义。
- AB：叫做A左乘B，B右乘A
矩阵不满足的三条规律：
与零矩阵相乘：
任何矩阵与零矩阵相乘等于零矩阵。
与E相乘：AE=A,EB=B
单位阵一定是方阵。
结合律、分配律、数乘：
（左右顺序不会变）
下图错误：
例1、可交换，AB=BA
可交换：A和B一定是同阶的方阵。
例2、解方程的简化
解：
幂：
-
性质1
-
性质2
一般来说：
- A、B是方阵
例、高次运算技巧——展开
矩阵转置的4条性质：
- 2个矩阵：
1、4条比较重要。
- 多个矩阵：
2.3 特殊矩阵（都是方阵）
数量矩阵
零矩阵和单位矩阵都是特殊的数量矩阵。
AE=EA的两个单位矩阵是不同的。
对角型矩阵
diag——对角型矩阵
- 左乘对应行、右乘对应列
三角型矩阵
上三角型、下三角形
对称、反对称矩阵（要用到转置）
对称矩阵
- 对称矩阵对主对角线没有要求
定理1：A对称、B对称、AB对称==A、B可交换
例1、
A对称，证明下式对称。
反对称矩阵
- 反对称矩阵主对角线全为0
2.4 逆矩阵
逆矩阵：（类似于矩阵除法，但不是）
不要把矩阵放在分母上。
AB=BA=E
方阵的行列式：
矩阵，属性：特征向量、特征值、行列式
只有方阵才有伴随矩阵。
伴随矩阵：
- 六个字：按行求，按列放。
定理2.4.1：对任意方阵都成立。AA *=A *A=|A|E
证明：异乘变零定理、行列式的展开。
按行求，按列放。万能公式。
任何方阵都有伴随矩阵。
推论：
当|A|=0时，该结论也成立。即|A *|=|A|的n-1次方。n为阶数
- 1、未必所有方阵均可逆
- 2、若可逆，逆矩阵唯一。
判断可逆
逆矩阵定义：AB=BA=E
A、B一定是方阵
行列式≠0，非奇异，非退化，满秩，可逆
一、伴随矩阵法
A的逆矩阵=A */|A|
推论：
二、初等变换法
A的逆矩阵=？
例1（例5）、
凑出AB=E
最重要考点：矩阵方程
在同时左乘逆矩阵时，注意一定要判断是否可逆。
总结：
1、提，注意方向
2、A-2，A-2E
3、不要把矩阵放在分母上
4、先判断可逆，再写矩阵
5、用初等变换法求解逆矩阵
逆矩阵性质：（重要）
关于A *的一些公式和性质：
2.5 分块矩阵
概念:
行向量、列向量。
标准型：（标准型不一定是方的）
判断标准型矩阵。
连续的1，然后是连续的0.
1、分块加法（对应相加）
2、数乘（每项相乘）
3、乘法（按元素相乘，前提：子块要能乘）
例1、
转置（两步走）、
1、先把子块看做元素转置
2、对每个子块转置
例2、思路、结论记住（考研）
C不是方阵不可逆
结论（要记住）：
2.6 初等变换
初等 行变换、列变换
初等变换要用→表示，不用=
本质：对矩阵的变化
3种初等行变换，3种初等列变换。
行列式和矩阵初等变换没有关系。
当A是方阵时，产生联系：
初等变换至标准型
A经初等变换得到B，A等价于B
等价的性质：
标准型~秩，几个1，几个秩
初等方阵：对单位矩阵做一次初等变换
初等方阵的逆矩阵和转置
例1、
左乘初等矩阵：初等行变换，对A实施行变换。右乘初等矩阵：初等列变换。
例、
（1、2略）定理3、4、5
可逆的两个推论
初等行变换求逆矩阵原理
初等行变换法求逆矩阵：
若左边求不出单位阵E，则不存在逆矩阵。
若不存在逆矩阵，在变换过程中的矩阵，行列式始终等于0.
2.7 矩阵的秩
k阶子式的定义
秩的定义：
非零子式的最高阶数
满秩（行满秩、列满秩）、降秩、方阵可逆
定理1、
4阶以上子式必然等于0，证，行列式展开。
***阶梯型矩阵定义
***行简化阶梯型
矩阵的秩=非零行的行数
初等（行、列）变换不改变矩阵的秩
统一、一般只用行变换。
例1、
例2、