转自：http://blog.****.net/murmured/article/details/19281031

一、Dijkstra

Dijkstra单源最短路算法，即计算从起点出发到每个点的最短路。所以Dijkstra常常作为其他算法的预处理。

使用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2),用优先队列的复杂度为O((m+n)logn)近似为O(mlogn)

(一) 过程

每次选择一个未访问过的到已经访问过（标记为Known）的所有点的集合的最短边，并用这个点进行更新，过程如下：

Dv为最短路，而Pv为前面的顶点。

最短路算法详解（Dijkstra/SPFA/Floyd）

1. 初始

V	Known	Dv	Pv
V1	F	0	0
V2	F	∞	0
V3	F	∞	0
V4	F	∞	0
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

2. 在v1被标记为已知后的表

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	∞	0
V4	F	1	V1
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

3. 下一步选取v4并且标记为known，顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点，而他们实际上都需要调整。如表所示:

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

4. 接下来选取v2,v4是邻接点，但已经是known的，不需要调整，v5是邻接的点但不做调整，因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

5. 接下来选取v5，值为3，v7 3+6>5不需调整，然后选取v3，对v6的距离下调到3+5=8

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	8	V3
V7	F	5	V4

6. 再选下一个顶点是v7，v6变为5+1=6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	6	V7
V7	T	5	V4

7. 最后选取v6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	T	6	V7
V7	T	5	V4

(二) 局限性

Dijkstra没办法解决负边权的最短路径，如图

运行完该算法后，从顶点1到顶点3的最短路径为1,3，其长度为1，而实际上最短路径为1,2,3，其长度为0.（因为过程中先选择v3，v3被标记为已知，今后不再更新）

(三) 算法实现。

1．普通的邻接表以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例

用vis作为上面标记的known，dis记录最短距离（记得初始化为一个很大的数）。

[cpp] view plain copy

void dijkstra(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
int cur=s;
dis[cur]=0;
vis[cur]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
if(!vis[j] && dis[cur] + map[cur][j] < dis[j]) //未被标记且比已知的短，可更新
dis[j]=dis[cur] + map[cur][j] ;
int mini=INF;
for(int j=0;j<n;j++)
if(!vis[j] && dis[j] < mini) //选择下一次到已知顶点最短的点。
mini=dis[cur=j];
vis[cur]=true;
}
}

2.邻接表+优先队列。

要重载个比较函数.

[cpp] view plain copy

struct point
{
int val,id;
point(int id,int val):id(id),val(val){}
bool operator <(const point &x)const{
return val>x.val;
}
};
void dijkstra(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i<n;i++)
dis[i]=INF;
priority_queue<point> q;
q.push(point(s,0));
dis[s]=0;
while(!q.empty())
{
int cur=q.top().id;
q.pop();
if(vis[cur]) continue;
vis[cur]=true;
for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
{
int id=e[i].to;
if(!vis[id] && dis[cur]+e[i].val < dis[id])
{
dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
q.push(point(id,dis[id]));
}
}
}
}

二、SPFA（bellman-ford）

SPFA是bellman-ford的改进算法(队列实现），效率也更高，故直接介绍SPFA。

相比于Dijkstra，SPFA可以计算带负环的回路。

邻接表的复杂度为：O(kE)E为边数，k一般为2或3

（一）原理过程：

bellman-ford算法的基本思想是，对图中除了源顶点s外的任意顶点u，依次构造从s到u的最短路径长度序列dist[u],dis2[u]……dis(n-1)[u]，其中n是图G的顶点数，dis1[u]是从s到u的只经过1条边的最短路径长度，dis2[u]是从s到u的最多经过G中2条边的最短路径长度……当图G中没有从源可达的负权图时，从s到u的最短路径上最多有n-1条边。因此，

dist(n-1)[u]就是从s到u的最短路径长度，显然，若从源s到u的边长为e(s,u)，则dis1[u]=e(s,u).对于k>1，dis（k)[u]满足如下递归式，dis(k)[u]=min{dis(k-1)[v]+e(v,u)}.bellman-ford最短路径就是按照这个递归式计算最短路的。

SPFA的实现如下：用数组dis记录更新后的状态，cnt记录更新的次数，队列q记录更新过的顶点，算法依次从q中取出待更新的顶点v,按照dis(k)[u]的递归式计算。在计算过程中，一旦发现顶点K有cnt[k]>n，说明有一个从顶点K出发的负权圈，此时没有最短路，应终止算法。否则，队列为空的时候，算法得到G的各顶点的最短路径长度。