边框回归(Bounding Box Regression)详解

观察(1)-(4)我们发现， 边框回归学习就是dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)

这四个变换。下一步就是设计算法那得到这四个映射。

线性回归就是给定输入的特征向量 X, 学习一组参数 W, 使得经过线性回归后的值跟真实值 Y(Ground Truth)非常接近. 即Y≈WX

。 那么 Bounding-box 中我们的输入以及输出分别是什么呢？

Input:

RegionProposal→P=(Px,Py,Pw,Ph)

)

Output:

需要进行的平移变换和尺度缩放 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)

。
这也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：

那么目标函数可以表示为 d∗(P)=wT∗Φ5(P)

差距最小， 得到损失函数为：

函数优化目标为：

利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到 w∗

。

为什么宽高尺度会设计这种形式？

这边我重点解释一下为什么设计的tx,ty

会有log形式！！！

首先CNN具有尺度不变性， 以图3为例：

x,y 坐标除以宽高

上图的两个人具有不同的尺度，因为他都是人，我们得到的特征相同。假设我们得到的特征为ϕ1,ϕ2

。也就是说同一个x对应多个y，这明显不满足函数的定义。边框回归学习的是回归函数，然而你的目标却不满足函数定义，当然学习不到什么。

宽高坐标Log形式

我们想要得到一个放缩的尺度，也就是说这里限制尺度必须大于0。我们学习的tw,th

怎么保证满足大于0呢？直观的想法就是EXP函数，如公式(3), (4)所示，那么反过来推导就是Log函数的来源了。

为什么IoU较大，认为是线性变换？

当输入的 Proposal 与 Ground Truth 相差较小时(RCNN 设置的是 IoU>0.6)， 可以认为这种变换是一种线性变换， 那么我们就可以用线性回归来建模对窗口进行微调， 否则会导致训练的回归模型不 work（当 Proposal跟 GT 离得较远，就是复杂的非线性问题了，此时用线性回归建模显然不合理）。这里我来解释：

Log函数明显不满足线性函数，但是为什么当Proposal 和Ground Truth相差较小的时候，就可以认为是一种线性变换呢？大家还记得这个公式不？参看高数1。

现在回过来看公式(8):

当且仅当Gw−Pw

=0的时候，才会是线性函数，也就是宽度和高度都必须近似相等。

对于IoU大于指定值这块，我并不认同作者的说法。我个人理解，只保证Region Proposal和Ground Truth的宽高相差不多就能满足回归条件。x,y位置到没有太多限制，这点我们从YOLOv2可以看出，原始的边框回归其实x，y的位置相对来说对很大的。这也是YOLOv2的改进地方。详情请参考我的博客YOLOv2。

总结

里面很多都是参考师兄在caffe社区的回答，本来不想重复打字的，但是美观的强迫症，让我手动把latex公式巴拉巴拉敲完，当然也为了让大家看起来顺眼。后面还有一些公式那块资料很少，是我在阅读paper+个人总结，不对的地方还请大家留言多多指正。