数学建模——常偏微分方程模型（上）（模型详解和matlab代码）
1.人口增长
马尔萨斯模型
模型假设
(i)设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微
(ii)人口额度增长率r是常数（增长率=出胜率-死亡率）
(iii)人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加和减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率
建模和求解
于是得
解得
阻滞增长模型（Logistic模型）
模型假设
(i)设r(x)为x的线性函数，
(ii)自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为，即当
时，增长率
建模和求解
由假设可以得到自然增长率
解得
模型检验
syms x t
xm=10000;
x0=100;
r=0.1;
t0=0
x=xm/(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-t0)))
ezplot(x,[0,100])
对求二次导数得
(i),人口极限为
(ii)时，
(iii)当
(iv) 当
(v) 当人口总数为极限值一半之前为加速生长时期，一半以后为减速生长时期，生长速率逐渐变小，最终达到0.
模型推广：在马尔萨斯模型增加一个竞争项，作用为使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时b较小；反之b较大，建立方程
解得
求二次导数得
(i)对于任意t>,有
,且
(ii)当时，
，
递增；当
时，
；当
时
时，
，
递减
iii)当，
，
为凹，当
时，
,
为凸
令，得x1=0，
，称为微分方程得平衡解。又
，所以
为微分方程得稳定平衡解。无论初始人口数量为多少，人口总数将稳定在
2.药剂量开处方
问题：药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？
建模：
药物的排出：药物的浓度为C，临床试验显示，血液中药物浓度的减少与浓度成比例，k为排出常数
令单次用药的剂量为，其中，H为药物的最高安全级浓度，L为药物的最低有效级浓度
假设t=0时服第一次药，即t=0时浓度为
解得
药物的吸收：假设服用方式是注射到血管，药物在血液中迅速扩散，使得药物的吸收可以当成是瞬间吸收的。
多次用药的药物积累：
用药的周期为T，模型的起始时刻为0
为
时刻用药后的浓度，
,即
为第
，且
即Ci和Ri的下标i均表示时刻
当n足够大的时候，可以得到稳定的药物残余浓度
，
联立上式可得服药周期T应为
编写MATLAB程序观察过程从时刻0开始每次服药后浓度C和每次残余浓度R是如何变化的
H=2;
L=1;
k=0.2;
C0=H-L;
C=0;
R=0;
T=1/k*log(H/L);
for t=0:T:100T
C=R+C0;
plot(t,C,'*')
plot([t,t],[C,R])
axis([0 1000 0 3]);
hold on
R=C*exp(-k*T);
plot(t+T,R,'*')
hold on
RR=C*exp(-k*(tt-t));
ezplot(RR,[t,t+T])
axis([0 100 0 3]);
hold on
end
结果如下：
可以看到，最高浓度和最低浓度已经稳定了
3.水污染问题
问题：给定的一个被污染的湖，只通过自然过程，要多久的时间才能恢复到可接受的污染程度。
假设：1.湖是一个大的容器或水池，在任意时刻t有的水
2.污染物分布均匀，且以流动的方式存在，不会浓缩在动植物体内而遗留在生物系统
3.污染物主要由于流出的方式离开湖外，不考虑沉淀、腐烂或其它天然方式排出湖外
建模：用表示t时刻湖中的污染物总量，污染物的浓度为
在时间内，污染物的总量的变化为Δp
假设水是以每公升克的常数浓度，以每秒
公升的速率流入湖中，则
其中为常数
假设水是以每秒公升的速率流出湖中，污染物浓度为
所以
设初始湖的体积为V(0)=,每秒的流入流出速率固定，则每秒的变化体积变化速率为
，则V(t)=
+
所以，污染量关于时间
的微分方程为
MATLAB进行求解,假设
syms p t rout rin V0 alpha p0
p=dsolve('Dp=alpha-rout*p/(V0+(rin-rout)*t)','p(0)=p0')
解得
p =
(alpha*(V0 + rin*t - rout*t)^(rout/(rin - rout) + 1))/(rin*(V0 + t*(rin - rout))^(rout/(rin - rout))) - (V0*V0^(rout/(rin - rout))*alpha - V0^(rout/(rin - rout))*p0*rin)/(rin*(V0 + t*(rin - rout))^(rout/(rin - rout)))
4.火箭问题
泰勒公式可以得到
动量守恒
由上二式可得
一级火箭：
为结构质量
令 ,得
, 由于技术原因
,取
,得火箭速度上限为6.6km/s
理想火箭模型
令，且
时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α与1-α的比例同时进行.
动量守恒
泰勒公式得
得
解得
由上式可得，足够大，则可以达到任意速度
多级火箭卫星系统
设有n级火箭
令
···
第1级脱落时
第2级脱落时
第n级脱落时
令
∵
最佳结构问题转化为
当
考虑到多层火箭得技术实现问题，3层火箭经济效益最佳。