VST

通常的图像去噪算法常常假设图像的噪声模型为一个加性噪声模型，并且噪声假设为高斯白噪声，即

s (x) = s_{0} (x) + n (x)

这里

x

为信号的索引坐标，在图像中常常用二维的坐标来索引

s_{0}

为原始信号，

s

为观测信号，

n

为噪声，并且

n \sim N (0, σ^{2})

。如下流程图所示：

然而在现实的物理过程中，有许多需要去噪的过程并不是仅仅被高斯噪声所干扰，针对这样的过程，一类处理方法是对噪声进行重新建模，并且根据新建模的噪声设计特定的去噪过程，另一类处理方法是将新建模的噪声过程转换成高斯白噪声，然后采用已经研究过的针对高斯白噪声有效的去噪算法，两种方法各有优劣，但是第二种方法有两个好处，其一直方便模块化，第二是直接利用现有的去噪算法，避免重新投入资源尽心开发，节约时间和研发成本。这个将特定噪声转换成高斯白噪声的过程我们称之为VST，其反过程是将去噪后的信号转换到原始分布，称之为inverse VST。上述整体流程如下图所示：

VST变换

针对于CCD/CMOS成像系统，观测信号通常建模为泊松-高斯联合分布，其中高斯噪声对应于感光器件本身的噪声，而泊松过程对应于光子打到感光器件上这样一个计数过程，二者相互独立，构成成像系统整体的噪声建模。如上图中的第一个流程图所示。
泊松-高斯联合过程的建模和参数估计不是本文的重点，稍后会有另一片文档详细介绍其建模过程和参数估计方法，本文的侧重点是在知道了泊松高斯联合分布的参数之后，如何将其变换一个稳定高斯噪声（即VST），以及在去完噪声之后如何通过一个反变换转换到原始信号（即inverse VST）.

1.VST过程
泊松-高斯联合分布的建模如下式所示：

s (x) = α p (s_{0} (x)) + n (x)

其中

α

为增益，

n

为均值为

m

，标准差为

σ

的高斯分布，

p

为依赖于信号的泊松分布，其参数为

λ_{0}

.
为了方便，我们在下面的推导过程中省去索引坐标

x

.
我们的目标是寻找一个变换

y = f (s)

使得其方差与原始信号

s

无关。从信号的建模公式可知，其方差为

V a r (s) = σ^{2} + α^{2} λ_{0}

，假设信号

s

变化足够小，在

s

的一个小区域内一次逼近就能够达到足够小的误差，那么

s

与

f (s)

的方差关系为

V a r (f) = (\frac{d f}{f s})^{2} V a r (s)

，不失一般性，设

V a r (f) = 1

，那么

\frac{d f}{d s} = \frac{1}{\sqrt{σ^{2} + α^{2} m_{0}}}

做一个简单的一阶逼近，

α m_{0} = x - g

，于是又

\frac{d f}{d s} = \frac{1}{\sqrt{α^{2} - α g + α s}}

经过简单的变量替换，容易求得上述微分方程的解析解：

f (s) = \frac{2}{α} \sqrt{α s + σ^{2} - α g}

上述推导过程是基于一个简单的线性逼近的假设基础上进行推导的。更一般的，我们希望寻找这样的一个变换，即

y = f (s) = \sqrt{s + c}

.这里需要用到级数展开的一系列理论。具体过程如下：
设

E (s) = m

,令

t = s - m

和

m^{^{'}} = m + c

.对

y

进行级数展开：

y = \sqrt{m^{^{'}} + t} = \sqrt{m^{^{'}}} [1 + \frac{1}{2} \frac{t}{m^{^{'} 2}} - \frac{1}{8} \frac{t^{2}}{m^{^{'} 2}} + \frac{1}{16} \frac{t^{3}}{m^{^{'} 3}} - \frac{5}{128} \frac{t^{4}}{m^{'} 4} + \dots]

因此，

E (y) = \sqrt{m^{^{'}} + t} = \sqrt{m^{^{'}}} [1 + - \frac{1}{8} \frac{μ^{2}}{m^{^{'} 2}} + \frac{1}{16} \frac{μ^{3}}{m^{^{'} 3}} - \frac{5}{128} \frac{μ^{4}}{m^{'} 4} + \dots]

这里

μ_{i}

为随机变量

t

的

i

阶中心距

E^{2} (y) = m^{^{'}} [1 - \frac{m u_{2}}{4 m^{^{'} 2}} + \frac{μ_{3}}{8 m^{^{'} 3}} - \frac{4 μ_{4}}{64 m^{^{'} 4}} + \frac{μ_{2}^{2}}{64 m^{^{'} 4}} + \dots]

于是：

V a r (y) = \frac{m_{2}}{4 m^{^{'}}} - \frac{μ_{3}}{8 m^{^{'} 2}} - \frac{μ_{2}^{2} - 5 μ_{4}}{64 m^{^{'} 3}} + \dots

为了推导上述方差的解析解，有必要对级数中的分子（各阶中心距）和分母进行各自推导
通过对泊松-高斯联合分布的特征函数进行研究，不难推断出
二阶矩

μ_{2} = σ^{2} + α^{2} m_{0}

三阶距

μ_{3} = m_{3} - 3 m_{1} m_{2} + 2 m_{1}^{3} = α^{3} m_{0}

四阶距

μ_{4} = α^{4} m_{0} + 3 (σ^{2} + α^{2} m_{0})^{2}

由于

m^{^{'}} = m + c

，

\frac{1}{m^{^{'}}} = \frac{1}{m} [1 - \frac{c}{m} + \frac{c^{2}}{m^{2}} + \dots]

\frac{1}{m^{^{'} 2}} = \frac{1}{m^{2}} [1 - 2 \frac{c}{m} + 3 \frac{c^{2}}{m^{2}} + \dots]

\frac{1}{m^{^{'} 3}} = \frac{1}{m^{3}} [1 - 3 \frac{c}{m} + \dots]

将上述公式代入方差

V a r (y)

，可以推出

V = \frac{α}{4} + \frac{σ^{2} - α g - c α}{4 m} - \frac{α^{2}}{8 m} + \frac{14 α^{2}}{64 m} + \dots

忽略高阶无穷小量，于是有

V = \frac{α}{4} + \frac{16 (σ^{2} - α g) - 16 c α + 6 σ^{2}}{64 m}

为了让

V

与

m

无关，上式中第二项必须为零，于是有

c = \frac{3}{8} α + \frac{σ^{2} - α g}{α}

此时方差为

α / 4

，将

c

带入，并归一化得到

t = \frac{2}{α} \sqrt{α s + \frac{3}{8} α^{2} + σ^{2} - α g}

至此，便推出了Poission-Gaussian联合分布的VST变换公式。

参考文献：
1. Image Processsing and data analysis
2. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise

VST变换

VST

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