基于因果强度与自回归的预测模型
第一次写博客，语言组织上还望见谅.
本篇文章内容主要通过建模的方式量化时间序列X到时间序列Y的因果影响强度，通过确定合适的因果关系来提高序列的可预测性。
在讲述文章模型前，我们首先了解下两点必要的知识内容。
一、马尔科夫链及马尔科夫的过程表示
二、最小二乘法求取自回归模型系数
首先针对一个含有n个样本的序列线性化表示如下：
1&{x_1^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_1^{\left( m \right)}} \\
1&{x_2^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_2^{\left( m \right)}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1&{x_n^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{x_n^{\left( m \right)}}
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\beta _0}} \\
{{\beta _1}} \\
\vdots \\
{{\beta _m}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}} \\
\vdots \\
{{y_n}}
\end{array}} \right]\]
即\[A\beta = Y\]，对于最小二乘法来说就是最后获取最优解为：
而对于一个P阶的自回归模型，只需要将上述线性方程组描述为下述形式：
\[\begin{gathered}x\left[ {p + 1} \right] = {\beta _p}x\left[ 1 \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ 2 \right] + \ldots + {\beta _1}x\left[ p \right] \hfill \\
x\left[ {p + 2} \right] = {\beta _p}x\left[ 2 \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ 3 \right] + \ldots + {\beta _1}x\left[ {p + 1} \right] \hfill \\
\cdots \cdots \hfill \\
x\left[ N \right] = {\beta _p}x\left[ {N - p} \right] + {\beta _{p - 1}}x\left[ {N - p + 1} \right] + \ldots + {\beta _1}x\left[ {N - 1} \right] \hfill \\
\end{gathered} \]
其中N表示序列的长度。
好了，到此为止大致了解了所相关的一些知识，下面就是模型的公式了。
三、因果强度模型的构建
熵的计算公式为：
故因果强度计算如下：
\[f\left( {y_{t - 1}^{\left( l \right)},x_{i,t - 1}^{\left( k \right)}} \right) = {b_{i,0}} + b_i^Ty_{t - 1}^{\left( l \right)} + c_i^Tx_{i,t - 1}^{\left( k \right)}\]
主要参考文献：
[1]Causality Quantification and Its Applications:Structuringand Modeling of Multivariate Time Series
[2]https://blog.****.net/bitcarmanlee/article/details/51589143
[3]https://blog.****.net/u014557232/article/details/50986298