Kalman滤波

来自：https://www.cnblogs.com/ycwang16/p/5999034.html

虽然Kalman滤波器已经被广泛使用，也有很多的教程，但我们在Bayes滤波器的框架上，来深入理解Kalman滤波器的设计，对理解采用Gaussian模型来近似状态分布的多高斯滤波器(Guassian Multi-Hyperthesis-Filter)等都有帮助。

$\textbf{一. 背景知识回顾}$一. 背景知识回顾

1.1 Bayes滤波
首先回顾一下Bayes滤波. Bayes滤波分为两步：1.状态预测 、 2.状态更新

1. 状态预测，基于状态转移模型：
   $\overline {bel} ({x_t}) = \int {p({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} \;bel({x_{t - 1}})\;d{x_{t - 1}}$bel(xt​)=∫p(xt​∣ut​,xt−1​)bel(xt−1​)dxt−1​

2. 状态更新，基于新的观测
   $bel({x_t}) = \;\eta \,p({z_t}|{x_t})\,\overline {bel} ({x_t})$bel(xt​)=ηp(zt​∣xt​)bel(xt​)

我们可以看到，我们的目的是计算$x_t$xt​的后验概率，如果$bel(x_t)$bel(xt​)是任意分布，我们需要在$x_t$xt​的所有可能取值点上，计算该取值的概率，这在计算上是难于实现的。这一计算问题可以有多种方法来近似，比如利用采样的方法，就是后面要讲的粒子滤波和无迹Kalman滤波。

这节要说的近似方法是，当假设$bel(x_t)$bel(xt​)服从Gauss分布，那么我们只需要分布的均值和方差就可以完全描述$bel(x_t)$bel(xt​),而无需在$x_t$xt​的每个可能取值点上进行概率计算。这也是用高斯分布来近似$bel(x_t)$bel(xt​)的好处，因为我们在每一个时刻，只需要计算均值$\mu_t$μt​和方差$\Sigma_t$Σt​这两个数值，就可以对$bel(x_t)$bel(xt​)完全描述，所以我们就可以推导出这两个数值的递推公式，从而在每个时刻由这两个数值的递推公式完全获得状态估计，这就是The Kalman Filter的基本思想。

1.2 正态分布(Guassian Distribution)

然后我们再回顾一下正态分布的基础知识。正态分布是一种特殊的概率分布，分布的形态完全由二阶矩决定。一元高斯分布表述如下：
$\begin{array}{l} p(x)\sim N(\mu ,{\sigma ^2}):\\ p(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{1}{2}\frac{{{{(x - \mu )}^2}}}{{{\sigma ^2}}}}} \end{array}$p(x)∼N(μ,σ2):p(x)=2π​σ1​e−21​σ2(x−μ)2​​

其中，一阶矩为均值$\mu$μ表示期望值，二阶矩为方差$\sigma$σ 表示分布的不确定程度。

多元高斯分布的表达式为：$\begin{array}{l} p({\bf{x}})\sim {\rm N}({\bf{\mu }},{\bf{\Sigma }}):\\ p({\bf{x}}) = \frac{1}{{{{(2\pi )}^{d/2}}{{\left| {\bf{\Sigma }} \right|}^{1/2}}}}{e^{ - \frac{1}{2}{{({\bf{x}} - {\bf{\mu }})}^t}{{\bf{\Sigma }}^{ - 1}}({\bf{x}} - {\bf{\mu }})}} \end{array}$p(x)∼N(μ,Σ):p(x)=(2π)d/2∣Σ∣1/21​e−21​(x−μ)tΣ−1(x−μ)​

一阶矩为均值$\mu$μ表示期望值，二阶矩为方差$\Sigma$Σ 表示分布的不确定程度。

1.3 正态分布的特点

在线性变换下，一旦高斯，代代高斯。

首先，高斯变量线性变换后，仍为高斯分布，均值和方差如下：

然后，两个高斯变量线性组合，仍为高斯分布，均值和方差如下：

最后，两个相互独立的高斯变量的乘积，仍然为高斯分布，均值和方差如下：

正因为高斯分布有这些特点，所以，在Bayes滤波公式中的随机变量的加法、乘法，可以用解析的公式计算均值和方差，这使得Bayes滤波的整个计算过程非常简便，即Kalman滤波器的迭代过程。

$\textbf{二. Kalman滤波}$二. Kalman滤波

2.1 Kalman滤波的模型假设

Kalman滤波所解决的问题，是对一个动态变化的系统的状态跟踪的问题，基本的模型假设包括：1）系统的状态方程是线性的；2）观测方程是线性的；3）过程噪声符合零均值高斯分布；4）观测噪声符合零均值高斯分布；从而，一直在线性变化的空间中操作高斯分布，状态的概率密度符合高斯分布。

1. 状态方程

${x_t} = {A_t}{x_{t - 1}} + {B_t}{u_t} + {\varepsilon _t}$xt​=At​xt−1​+Bt​ut​+εt​

2. 观测方程
   ${z_t} = {H_t}{x_t} + {\delta _t}$zt​=Ht​xt​+δt​

其中过程噪声$\epsilon_t$ϵt​假设符合零均值高斯分布；观测噪声$\delta_t$δt​假设符合零均值高斯分布。对于上述模型，我们可以用如下参数描述整个问题：

2.2 Kalman滤波器的模型

1. $x_t$xt​, $n$n维向量，表示t时刻观测状态的均值.

2. $P_t$Pt​, $n\times n$n×n方差矩阵，表示$t$t时刻被观测的$n$n个状态的方差.

3. $u_t$ut​,$l$l维向量，表示$t$t时刻的输入

4. $z_t$zt​,$m$m维向量，表示$t$t时刻的观测

5. $A_t$At​, $n\times n$n×n矩阵，表示状态从$t-1$t−1到$t$t在没有输入影响时转移方式

6. $B_t$Bt​,$n\times n$n×n矩阵 表示$u_t$ut​如何影响$x_t$xt​

7. $H_t$Ht​, $m\times n$m×n表示状态$x_t$xt​如何被转换为观测$z_t$zt​

8. $R_t$Rt​, $n\times n$n×n矩阵，表示过程噪声$\epsilon_t$ϵt​ 的方差矩阵

9. $Q_t$Qt​, $m\times m$m×m矩阵,表示观测噪声$\epsilon_t$ϵt​ 的方差矩阵

上图给出了在没有观测，仅有输入$u_t$ut​时，状态变量的均值和方差从$t−1$t−1到$t$t的转移方式，可见均值和方差的计算，完全是基于高斯分布的线性变化的方法来算的。

上图给出了Kalman滤波所解决的问题，即在获得$t$t时刻的输入和观测的情况下，如何更新$x_t$xt​的均值和方差的问题。当然$u_t$ut​和$z_t$zt​也并不是每一个时刻都需要同时获得，就像贝叶斯滤波一样，可以在获得$u_t$ut​时就做一次状态预测，在获得$z_t$zt​时做一次状态更新.

2.3 Kalman滤波算法

Kalman滤波整体算法如下:

$\boldsymbol{\cdot}$⋅ 第一行基于转移矩阵和控制输入，预测$t$t时刻的状态.

$\boldsymbol{\cdot}$⋅ 第二行是预测方差矩阵.

$\boldsymbol{\cdot}$⋅ 第三行计算Kalman增益，$\boldsymbol{K_t}$Kt​

$\boldsymbol{\cdot}$⋅ 第四行基于观测的新息进行状态更新

$\boldsymbol{\cdot}$⋅ 第五行计算更新状态的方差矩阵。

可以看到算法的所有的精妙之处都在于第三行和第四行。我们可以这样来理解：

1. $({H_t}{\overline P _t}H_t^T + {Q_t})$(Ht​Pt​HtT​+Qt​)代表对状态进行观测时，观测的不确定程度，它与Kalman增益$\boldsymbol{K_t}$Kt​成反比，表示观测的可能噪声越大的时候，Kalman增益$\boldsymbol{K_t}$Kt​越小。

2. 再看第四行，$x_t$xt​的更新是在$\bar{x}_t$xˉt​上加一个$\boldsymbol{K_t}$Kt​乘以 $({z_t} - {H_t}{\overline x _t})$(zt​−Ht​xt​).$({z_t} - {H_t}{\overline x _t})$(zt​−Ht​xt​)代表的是预测的值与观测之间的差异，这个差异当预测和观测都比较接近于真实值时比较小。当观测不准，或者预测不准时都会比较大。而前面的乘子$\boldsymbol{K_t}$Kt​是在观测噪声大的时候比较小，所以整个$\boldsymbol{K_t}({z_t} - {H_t}{\overline x _t})$Kt​(zt​−Ht​xt​)这个修正量，表示利用观测对预测结果的修正量。

$\qquad \cdot$⋅ 当观测噪声比较小，预测误差比较大时修正幅度比较大

$\qquad \cdot$⋅ 当观测噪声比较小预测误差比较小的时候，或者观测噪声比较大的时候，修正误差的幅度也比较小，从而起到了一种平滑的作用。

3. 利用较准确的观测修正预测误差，不准确的观测修正量也较小，所以在误差较大的时候能快速修正，而在误差较小时能逐渐收敛。

$\textbf{2.4 Kalman滤波算法的推导}$2.4 Kalman滤波算法的推导
这里我们用Bayes公式，给出Kalman Filter是如何导出的。

1. 系统的初始状态是：

$bel({x_0}) = N\left( {{\mu _0},{P_0}} \right)$bel(x0​)=N(μ0​,P0​)

2. 预测过程的推导

状态转移模型是线性函数

${x_t} = {A_t}{x_{t - 1}} + {B_t}{u_t} + {\varepsilon _t}$xt​=At​xt−1​+Bt​ut​+εt​
所以，由$x_{t−1}$xt−1​到$x_t$xt​状态转移的条件概率为:
$p({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}}) = N\left( {{A_t}{x_{t - 1}} + {B_t}{u_t},{R_t}} \right)$p(xt​∣ut​,xt−1​)=N(At​xt−1​+Bt​ut​,Rt​)
回顾Bayes公式，计算预测状态的分布，需要考虑所有可能的$x_{t−1}$xt−1​
$\overline {bel} ({x_t}) = \int {p({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} {\rm{ }}bel({x_{t - 1}})\;d{x_{t - 1}}$bel(xt​)=∫p(xt​∣ut​,xt−1​)bel(xt−1​)dxt−1​
这正是计算两个高斯分布的卷积的过程，参考文献[2]：

所以Kalman滤波器的预测过程，正是基于两个高斯分布的卷积计算得到的解析表达式。
3. 观测更新过程的推导

观测方程也是线性方程，并且噪声是高斯噪声
${z_t} = {H_t}{x_t} + {\delta _t}$zt​=Ht​xt​+δt​
所以$p(z_t|x_t)$p(zt​∣xt​)的条件概率是高斯分布的线性变换计算：
$p({z_t}|{x_t}) = N\left( {{H_t}{x_t},{Q_t}} \right)$p(zt​∣xt​)=N(Ht​xt​,Qt​)
再考虑贝叶斯公式的状态更新步骤
$bel({x_t}) = \,\quad \eta \quad \,p({z_t}|{x_t})\overline {bel} ({x_t})$bel(xt​)=ηp(zt​∣xt​)bel(xt​)
这正是两个高斯分布的乘积的问题，参考文献[2]
$\begin{array}{l} bel({x_t}) = \,\quad \eta \quad \,p({z_t}|{x_t})\quad \quad \quad \quad \quad \quad \overline {bel} ({x_t})\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Downarrow \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Downarrow \\ \quad \quad \quad \quad \quad \sim N\left( {{z_t};{H_t}{x_t},{Q_t}} \right)\quad \quad \sim N\left( {{x_t};{{\overline \mu }_t},{{\overline P }_t}} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Downarrow \\ bel({x_t}) = \eta \;\exp \left\{ { - \frac{1}{2}{{({z_t} - {H_t}{x_t})}^T}Q_t^{ - 1}({z_t} - {H_t}{x_t})} \right\}\exp \left\{ { - \frac{1}{2}{{({x_t} - {{\bar \mu }_t})}^T}\bar P_t^{ - 1}({x_t} - {{\bar \mu }_t})} \right\}\\ \end{array}$bel(xt​)=ηp(zt​∣xt​)bel(xt​)⇓⇓∼N(zt​;Ht​xt​,Qt​)∼N(xt​;μ​t​,Pt​)⇓bel(xt​)=ηexp{−21​(zt​−Ht​xt​)TQt−1​(zt​−Ht​xt​)}exp{−21​(xt​−μˉ​t​)TPˉt−1​(xt​−μˉ​t​)}​
所以，基于求高斯变量乘积的分布的方法，可以导出结果仍然是高斯分布，用它的二阶矩表示:

所以状态更新中的Kalman增益，均值和方差的更新公式，都是这样导出的。

Kalman滤波的算法特点

1. Kalman滤波计算快速，计算复杂度为$O(m^{2.376}+n^2)$O(m2.376+n2)，其中$m$m是观测的维数；$n$n是状态的个数。

2. 对于线性系统，零均值高斯噪声的系统，Kalman是理论上无偏的，最优滤波器。

3. Kalman滤波在实际使用中，要注意参数$R$R和$Q$Q的调节，这两者实际上是相对的，表示更相信观测还是更相信预测。具体使用时，$R$R可以根据过程噪声的幅度决定，然后$Q$Q可以相对$R$R来给定。当更相信观测时，把$Q$Q调小，不相信观测时，把$Q$Q调大。

4. $Q$Q越大，表示越不相信观测，这是系统状态越容易收敛，对观测的变化响应越慢。$Q$Q越小，表示越相信观测，这时对观测的变化响应快，但是越不容易收敛。

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参考文献

[1]. Sebastian Thrun, Wolfram Burgard, Dieter Fox, Probabilistic Robotics, 2002, The MIT Press.

[2]. P.A. Bromiley, Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions, University of Manchester