1. 噪声

真实图像经常会受到一些随机误差的影响。这种退化通常称为噪声。

1.1 图像的退化

有多种可能原因，例如机械设备不稳定影响图片锐度和图片模糊，电子传感器的缺陷，和在有噪声的电线上进行数字图像传输。图像采集时的退化通常被称为噪声；噪声可能发生在图像捕获、传输和预处理中。

1.2 噪声的种类

Channel Noise

独立于图像信号：(例如信号传输过程中的噪声)
$v:随机噪声\\ g=f+v$v:随机噪声g=f+v
依赖于图像信号（multiplicative noise）
$g=f+v_1f=(1+v_1)f$g=f+v1​f=(1+v1​)f

Quantization Noise

当没有用到足够的量化等级时会发生。例如：灰度图的阈值$\rightarrow$→对于黑色的物体和白色的背景，如果原始背景是有噪声的，就在白色的背景上分散一些黑点$\rightarrow$→“盐和胡椒”噪声。

不同灰度量化范围的图像：

Gaussian Noise

白噪声是一种理想化的噪声，它具有所有的噪声频率并且具有相同的强度。高斯噪声是白噪声的一种特例。具有高斯(正态)分布的随机变量的概率密度函数由高斯曲线给出。
Probability density function概率密度函数(PDF)：

$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp[-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}]$p(z)=2π​σ1​exp[−2σ2(z−μ)2​]
$z:$z: 灰度值
$\mu:$μ: $z$z的平均值
$\sigma:$σ: $z$z的方差

Uniform Noise

均匀噪声的PDF由均匀密度给出。

$p(z)= \left\{ \begin{array}{lr} 1/(b-a),&if (a\leq z\leq b) \\ 0, & otherwise \end{array} \right.$p(z)={1/(b−a),0,​if(a≤z≤b)otherwise​
$z:$z:灰度值
$\mu:(a+b)/2$μ:(a+b)/2
$\sigma:(b-a)^2/12$σ:(b−a)2/12

Impulse(salt-and-pepper) Noise

PDF有两极：

$p(z)= \left\{ \begin{array}{lr} P_a,&for(z=a) \\ P_b, & for(z=b)\\ 0,&otherwise \end{array} \right.$p(z)=⎩⎨⎧​Pa​,Pb​,0,​for(z=a)for(z=b)otherwise​
$z:$z:灰度值

1.3 信噪比

signal-to-noise ratio(SNR)信噪比，衡量图片质量的重要值。它与噪声大小有关，值越高，图片质量越好。
信号：
$g(x,y)=f(x,y)+v(x,y)$g(x,y)=f(x,y)+v(x,y)
信号和的平方：
$G=\sum_{(x,y)}g^2(x,y)$G=(x,y)∑​g2(x,y)
噪声和的平方：
$E=\sum_{(x,y)}v^2(x,y)$E=(x,y)∑​v2(x,y)
$SNR=\frac{G}{E}\\ SNR_{db}=10log_{10}SNR$SNR=EG​SNRdb​=10log10​SNR

Digital Camera Image Noise

较亮的区域有更多光，意味着有更强的信号——信噪比更大。

低频噪声——粗糙的图片纹理；高频噪声——更好的图片纹理。空间频率是在每个单位距离（通常为每mm）上正弦函数（如傅里叶变换）重复的度量。

1.4 Image Degradation Model

典型图片退化模型：
把图片看成线性系统：

$g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)$g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)
$f(x,y):$f(x,y):输入图像
$g(x,y):$g(x,y):退化后的图像
$n(x,y):$n(x,y):附加噪声
$H:$H:过程
假设$n(x,y)$n(x,y)为0，退化系统有以下性质：
线性：
$H[k_1f_1(x,y)+k_2f_2(x,y)]=k_1H[f_1(x,y)]+k_2H[f_2(x,y)]$H[k1​f1​(x,y)+k2​f2​(x,y)]=k1​H[f1​(x,y)]+k2​H[f2​(x,y)]
可加性：
$H[f_1(x,y)+f_2(x,y)]=H[f_1(x,y)]+H[f_2(x,y)]$H[f1​(x,y)+f2​(x,y)]=H[f1​(x,y)]+H[f2​(x,y)]
齐次：
$H[k_1f_1(x,y)]=k_1H[f_1(x,y)]$H[k1​f1​(x,y)]=k1​H[f1​(x,y)]
位置不变：
$H[f_1(x-a,y-b)]=g(x-a,y-b)$H[f1​(x−a,y−b)]=g(x−a,y−b)

2. 傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

$f(t)$f(t)是周期性连续方程，连续变量$t$t，周期为$T$T：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j\frac{2\pi n}{T}}\\ c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt$f(t)=n=−∞∑∞​cn​ejT2πn​cn​=T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jT2πn​tdt

2.2 1D傅里叶变换

$\mathscr F\{f(t)\}=F(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-2\pi i\xi t}dt\\ \mathscr F^{-1}\{F(\xi)\}=f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(\xi)e^{2\pi i \xi t}dt\\ i=\sqrt{-1}$F{f(t)}=F(ξ)=∫−∞∞​f(t)e−2πiξtdtF−1{F(ξ)}=f(t)=∫−∞∞​F(ξ)e2πiξtdti=−1​
函数$f$f的傅里叶谱（FT的幅值函数）的存在条件：函数f必须比指数曲线下降得更快；函数f只能在任何有限区间有限数量的不连续性。
对于数字信号(包括数字图像)傅里叶变换总是存在的，因为它们总是有界的，并且有有限数量的不连续点。
复频谱：
$F(\xi)=Re(F(\xi))+iIm(F(\xi))$F(ξ)=Re(F(ξ))+iIm(F(ξ))
功率频谱：
$P(\xi)=|F(\xi)|^2=Re(F^2(\xi))+Im(F^2(\xi))$P(ξ)=∣F(ξ)∣2=Re(F2(ξ))+Im(F2(ξ))

卷积

$(f*g)(t)=f(t)g(t)\\ F(\xi)G(\xi)=(F*G)(\xi)$(f∗g)(t)=f(t)g(t)F(ξ)G(ξ)=(F∗G)(ξ)

一个连续变量$t$t的函数$f(t)$f(t)与$h(t)$h(t)的卷积:
$f(t) ★ h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ FT{f(t)★ h(t)}=H(\mu)F(\mu)$f(t)★h(t)=∫−∞∞​f(τ)h(t−τ)dτFTf(t)★h(t)=H(μ)F(μ)
FT对：
$f(t)★h(t)\Leftrightarrow H(\mu)F(\mu)\\ f(t)h(t)\Leftrightarrow H(\mu)★F(\mu)$f(t)★h(t)⇔H(μ)F(μ)f(t)h(t)⇔H(μ)★F(μ)

$F(k)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\rm{exp}(-2\pi i \frac{nk}{N}),for(k=0,1,...,N-1)$F(k)=N1​n=0∑N−1​f(n)exp(−2πiNnk​),for(k=0,1,...,N−1)$f(n)=\sum_{n=0}^{N-1}F(k)\rm{exp}(2\pi i\frac{nk}{N}),for(n=0,1,...,N-1)$f(n)=n=0∑N−1​F(k)exp(2πiNnk​),for(n=0,1,...,N−1)

1D离散傅里叶变换

$F(u)=\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}\\ f(x)=\frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M}$F(u)=x=0∑M−1​f(x)e−j2πux/Mf(x)=M1​u=0∑M−1​F(u)ej2πux/M

2.3 2D傅里叶变换

$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^\infty f(x,y)e^{-2\pi i(xu+yv)}dxdy\\ f(x,y)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty F(u,v)e^{2\pi i(xu+yv)}dudv \\ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)exp(-2\pi i(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}))\\ f(m,n)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)exp(2\pi i(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}))\\ u=0,...,M-1;v=0,...,N-1;\\ m=0,...,M-1;n=0,...,N-1;$F(u,v)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)e−2πi(xu+yv)dxdyf(x,y)=∫−∞∞​∫−∞∞​F(u,v)e2πi(xu+yv)dudvF(u,v)=MN1​m=0∑M−1​n=0∑N−1​f(m,n)exp(−2πi(Mmu​+Nnv​))f(m,n)=u=0∑M−1​v=0∑N−1​F(u,v)exp(2πi(Mmu​+Nnv​))u=0,...,M−1;v=0,...,N−1;m=0,...,M−1;n=0,...,N−1;
功率谱是图像处理中常用的评估频率分布的方法。
$F(u,v)=Re(F(u,v))+iIm(F(u,v))$F(u,v)=Re(F(u,v))+iIm(F(u,v))
功率频谱：
$P(u,v)=|F(u,v)|^2=Re(F^2(u,v))+Im(F^2(u,v))$P(u,v)=∣F(u,v)∣2=Re(F2(u,v))+Im(F2(u,v))

2D离散变换

$F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$F(u,v)=x=0∑M−1​y=0∑N−1​f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=MN1​u=0∑M−1​v=0∑N−1​F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)