《深入浅出通信原理》知识总结

1、常见信号的傅里叶系数。

• 周期方波信号的傅里叶系数求法如下。
  假设方波信号x(t)的周期为T，幅度为1，脉宽为 τ，占空比为1/2，由此可得T=2τ。图像如下图所示。
  
  c0的推导过程如下图所示。
  
  上图中在积分区间[-τ/2, τ/2]内，x(t)=1，将其带入即可求出c0。
  ck的推导过程如下。
  
  又由：ω0=2π/T，得：ω0T=2π，又因为：T=2τ，所以：ω02τ=2π，得到：ω0*τ=π，方波信号的ck为下图中的式子。
  
  也可以直接通过ck的通式求出c0。当k->0时，sin(kπ/2)/(kπ/2) -> 1，又由于sin(kπ/2)/(kπ/2)是初等函数，所以函数值等于极限值，由此可知该范例中c0等于0.5。
• 周期矩形信号的傅里叶系数求法如下。
  周期方波信号其实属于周期矩形信号，周期方波信号的占空比等于2，周期矩形信号的占空比为n，因此可以通过周期方波信号来推广到周期矩形信号。
  假设周期矩形信号的幅度为1、脉宽为τ、周期为T、占空比为1/n，由T=nτ、ω0nτ=2π、ω0τ=2π/n带入到下面图中的式子中。
  
  带入后通过计算可以得到周期矩形信号的傅里叶系数的通项ck。如下图所示。
  
  从上图中的式子可以看出，当占空比为1/2，也就是n=2时，代入得到的就是幅度为1的方波信号的傅里叶系数。

2、常见周期信号的离散谱。

• 余弦函数的离散谱如下图所示。
  假设余弦信号为下图所示。
  
  上图中的式子是由欧拉公式消除了含有虚数j的项得出来的。由此可知余弦函数的复指数信号的分解是通过欧拉公式得出的。
  例子中的余弦函数的三维频谱如下图所示。
  
  上图中的三位频谱是以角速度w作为横轴，也可以用频率f作为横轴。xy平面用来表示ck，因为ck是一个复数。
  余弦函数的幅度谱如下图所示。
  
  上图中的纵轴的幅度表示的是ck的模。
  余弦函数的相位谱如下图所示。
  
  上图中的纵轴的相位表示的是ck的相位，因为ck是一个复数。由于余弦函数的在-w0和w0处的ck都是0.5，对应复平面直角坐标系中的实轴正方向，幅角为0，故在这两个点的时候相位为0。
• 正弦信号的频谱。
  假设正弦信号的如下图所示。
  
  和余弦信号相同，正弦信号的分解为复指数信号可以通过欧拉公式进行消元来得到，而不需要通过傅里叶级数进行逼近。
  正弦信号的三维谱如下图所示。
  
  正弦信号的幅度谱如下图所示。
  
  纵轴表示ck的模。
  正弦信号的相位谱如下图所示。
  
  上图中当w等于-w0的时候，ck等于0.5j，对应虚轴正方向，因此幅角为π/2。
• 周期方波信号的频谱。
  假设周期方波信号周期：T=1，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/2。如下图所示。
  
  根据的周期矩形信号的傅里叶系数ck的通项可以求出该范例中的周期方波信号的ck通项。
  周期矩形信号的傅里叶系数ck的通项如下图所示。
  
  周期方波信号的傅里叶系数的通项如下图所示。
  
  周期方波信号的三维频谱如下图所示。
  
  最下面的横轴表示的是k，k=0，±1，±2，…，表示k的横轴上面的横轴单位是w0或者f0，即离散的点之间的距离是w0或者f0，该横轴的点则是kw0或者kf0，单位不同对应自变量就不同。
• P138，周期矩形信号的频谱。