概率论与数理统计 | (5) 二元随机变量Part Two
目录
1. 二元连续型随机变量边际概率密度
二元随机变量(X,Y)分布函数F(x, y), 它们的边际分布函数分别为:
对于连续型随机变量(X,Y)， 概率密度为f (x, y),X ,Y的边际概率密度为:
- 例题
2. 二元连续型随机变量条件概率密度
设二元随机变量(X ,Y)的概率密度为 f (x, y),(X,Y)关于Y的边际概率密度为,若对于固定的y,
,且
连续，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度为:
同理，若对于固定的x，,且
连续，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为：
- 例题
二元离散型与连续型随机变量分布比较：
3. 二元均匀分布、二元正态分布
- 二元均匀分布
若二元随机变量(X,Y)的概率密度在平面上的一个有界区域D内是常数，而在其余地方取值为零，称(X,Y)在D上服从均匀分布。
其中A是区域D的面积。
- 例题
- 二元正态分布
- 例题
即二元正态分布的两个边际分布都是一元正态分布，并且都不依赖于参数。
4. 随机变量的独立性
- 相互独立的随机变量
之前我们把A与B两个事件的独立性定义为P(AB) = P(A)P(B),而随机变量的取值往往可以构成无数的事件,如X=1，X<1等，
为此要定义两个随机变量的独立性必须包含两个随机变量的许多个事件间的独立。设x，y为实数，设.
- 独立性定义
设是二元随机变量(X,Y)的分布函数,
是X的边际分布函数,
是Y的边际分布函数,若对所有x, y有:
即
.称随机变量X ,Y相互独立。
- 独立性等价判断
离散型：
用分布律判断。对一切i, j都成立,即
.
连续型：
用密度函数判断。对在平面的点(x,y)几乎处处成立.即在平面上除去“面积”为零的集合以外，上述等式处处成立。
- 例题
- 一般n元随机变量的一些概念和结果
n元随机变量：
设E是一个随机试验，样本空间,设
是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n元向量
称为n元随机变量.
n元随机变量的分布函数:
对于任意n个实数,n元函数：
称为n元随机变量
的分布函数.
n元离散型随机变量的分布律:
设的取值记为（
），
,
取遍所有可能值，称为n元离散型随机变量
的分布律。
n元连续型随机变量的概率密度：
若存在非负函数,使得对于任意实数
:
称为n元连续型随机变量
的概率密度.
n元随机变量的边际分布:
n元随机变量的相互独立: