8月24日自学同济版高数第二章第四节

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

隐函数求导

求由方程$e^y+xy-e=0$ey+xy−e=0所确定的隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$dxdy​
分析
隐函数中的$y$y实际上代表显函数（可能无法显化），我们就可以先用$f(x)$f(x)来替换掉$y$y：
$e^{f(x)}+xf(x)-e=0$ef(x)+xf(x)−e=0
对左边求导：
$f'(x)e^{f(x)}+xf'(x)+f(x)=0$f′(x)ef(x)+xf′(x)+f(x)=0
$f'(x)(e^{f(x)}+x)=-f(x)$f′(x)(ef(x)+x)=−f(x)
$f'(x)=\frac{-f(x)}{e^{f(x)}+x}$f′(x)=ef(x)+x−f(x)​
即
$\frac{dy}{dx}=\frac{-f(x)}{e^{f(x)}+x}=\frac{-y}{e^y+x}$dxdy​=ef(x)+x−f(x)​=ey+x−y​

求由方程$x-y+\frac{1}{2}s\sin y=0$x−y+21​ssiny=0所确定的隐函数的二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$dx2d2y​
解
对左边求导
$1-y'+\frac{1}{2}y'·\cos y=0$1−y′+21​y′⋅cosy=0
于是
$y'=\frac{2}{2-\cos y}$y′=2−cosy2​
再次求导
$y''=\frac{-2(y'·\sin y)}{(2-\cos y)^2}$y′′=(2−cosy)2−2(y′⋅siny)​
$=\frac{-2\sin y·y'}{(2-\cos y)^2}$=(2−cosy)2−2siny⋅y′​
$=\frac{-2\sin y·\frac{2}{2-\cos y}}{(2-\cos y)^2}$=(2−cosy)2−2siny⋅2−cosy2​​
$=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3}$=(2−cosy)3−4siny​
即
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3}$dx2d2y​=(2−cosy)3−4siny​

求$y=x^{\sin x}(x>0)$y=xsinx(x>0)的导数
解
两边同时取对数
$\ln y=\sin x·\ln x$lny=sinx⋅lnx
上式两边对$x$x求导：
$\frac{1}{y}y'=\cos x·\ln x+\sin x·\frac{1}{x}$y1​y′=cosx⋅lnx+sinx⋅x1​
于是
$y'=y(\cos x·\ln x+\sin x·\frac{1}{x})$y′=y(cosx⋅lnx+sinx⋅x1​)
$=x^{\sin x}(\cos x·\ln x+\sin x·\frac{1}{x})$=xsinx(cosx⋅lnx+sinx⋅x1​)

参数方程求导

确定参数方程
$\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}${x=φ(t)y=ψ(t)​
的导数
$\large \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}·\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}·\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$dxdy​=dtdy​⋅dxdt​=dtdy​⋅dtdx​1​=φ′(t)ψ′(t)​

相关变化率

设$x=x(t)$x=x(t)及$y=y(t)$y=y(t)都是可导函数，而变量$x$x与$y$y间存在某种关系，从而变化率$\frac{dx}{dt}$dtdx​与$\frac{dy}{dt}$dtdy​也存在一定关系。
这两个相互依赖的变化率称为相关变化率

补充知识：正割函数$\sec x=\frac{1}{\cos x}$secx=cosx1​

$(\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{\cos^2x-\sin x·(-\sin x)}{(\cos^2x)}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$(tanx)′=(cosxsinx​)′=(cos2x)cos2x−sinx⋅(−sinx)​=cos2x1​=sec2x