前提知识

熵：其实就是定义信息的不确定程度，熵越大，信息的不确定性就越强。其实这在决策树算法中就有提到。

最大熵原理：
第一种定义：学习概率模型时，在所有可能的概率模型（分布）中，熵最大的模型被认为是最好的模型。
第二种定义：在满足约束条件的模型集合中选择熵最大的模型。

熵的定义：
熵满足下列不等式：
其中
|x|：表示x取值的个数。
在不等式中，当且仅当x满足均匀分布时，右边的等号成立。即当x服从均匀分布时，熵最大。

所以：按照个人的理解来看，最大熵原理就是在给定的条件下，每种情况均匀分布是最好的。就好比生活中的掷骰子，在不知道形状只知道有六个面时，肯定猜每种情况出现的概率都是1/6最准确。即在没有更多信息的情况下，认为不确定部分是等概率出现的。而等概率不容易操作，但是熵则是一个可优化的值。

最大熵模型定义

给定一个数据集
学习的目标是用最大熵原理选择最好的分类模型

首先：考虑模型应该满足的条件。给定数据集，可以确定联合概率分布P(x,y)的经验分布和边缘分布P(x)的经验分布。公式如下：

其中V（）函数表示：数据集中满足条件的数据的个数，N代表数据集中的数据总数目。

用特征函数f(x,y)描述输入x和输出y之间的某一个事实：

特征函数f(x,y)关于经验分布p"(X,Y)的期望值，用
特征函数f(x,y)关于模型P(Y|X)与经验分布p"(x)的期望值为：

。如果模型能够获取训练数据集中的信息，那么就可以认为这个两个期望相等。也就是认为经验分布和模型分布是一样的。
即：
或

将上式作为模型的约束条件，当有n个特征函数，即有n个事实时，就有n个约束条件。

模型定义

假设满足所有约束条件的模型集合为：
定义在条件概率分布P(y|x)上的条件熵为：
则模型集合C中条件熵H§最大的模型称为最大熵模型。

最大熵模型的学习

最大熵模型的学习可以转化为约束最优化问题。
对于给定的训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}以及特征函数fi(x,y)(i=1,2,…,n),最大熵模型的学习等于约束最优化问题：
上式等价于：
利用拉格朗日法求解最优化最大熵模型，得：
原始问题是：
其对偶问题是;
针对上式：
首先，minL(P,w)是w的函数，求这个函数对P(y|x)的偏导数：
注意：这里的p(y|x)有n个，所以这里有n个式子。令这些式子为0,这里的P’’(x)>0,得：
因为：
即：
进而：

所以：
其中：
Zw(x)被称为规范化因子，f(x,y)是特征函数，wi是特征的权重,Pw(y|x)就是最大熵模型。其中w是最大熵模型中的参数向量。

之后，求解对偶问题外部的极大化问题：max(Pw(y|x))。得到最后的w。即：应用最优化算法求对偶问题max(Pw(y|x))的极大化，得到w，用来表示学习到的最优模型。