一、什么是 $\chi^2$χ2 分布？

$\chi^2$χ2概率分布主要用于检查实际结果与期望结果之间何时存在显著差异。$\chi^2$χ2是一种检验统计量。
主要作用：
1）检验拟合优度：检验观察频数是否和假设的概率分布相吻合
2）检验变量的独立性：判断两种因素是否相互独立

二、用$\chi^2$χ2 分布进行假设检验

检验步骤：

1. 确定要检验的原假设 $H_0$H0​ 和备择假设 $H_1$H1​
2. 求出期望频数和自由度 $\nu=组数-限制数$ν=组数−限制数
   （1）拟合优度检验：
   期望频数：根据假设的概率分布求
   自由度 $\nu=组数-限制数$ν=组数−限制数
   （2）独立性检验：
   期望频数：$期望频数=\frac{行合计\times列合计}{总和}$期望频数=总和行合计×列合计​
   自由度：$\nu =\left(h-1\right)\left(k-1\right)$ν=(h−1)(k−1)
3. 先确定显著性水平 $\alpha$α，再用 $\chi^2$χ2 概率表找拒绝域临界值 $x$x
   $P\left(\chi_\alpha^2\left(\nu\right)\geq x \right)=\alpha$P(χα2​(ν)≥x)=α
4. 计算检验统计量 $\chi^2$χ2
   $\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}$χ2=∑E(O−E)2​
   O：观察频数，E：期望频数
5. 查看检验统计量是否位于拒绝域以内
6. 做出决策
   检验统计量位于拒绝域以内 $\chi^2>x$χ2>x，则拒绝原假设，接受备择假设
   检验统计量位于拒绝域以外 $\chi^2&lt;x$χ2<x，则接受原假设

拟合优度检验备注：

不同频率分布的自由度

独立性检验备注：

1. 自由度计算方法：

求自由度就是数有多少个需要直接计算的值 $V_{ij}$Vij​，由于已知各行各列的总数 $T_{ij}$Tij​，所以各行各列都有一个数不用直接计算，$T_{ij}-V_{ij}$Tij​−Vij​ 可间接算出

2. 如果用显著性水平 $\alpha$α 和自由度 $\nu$ν进行检验，则表示为 $\chi_\alpha^2\left(\nu\right)$χα2​(ν)

实例

1. 拟合优度检验

2. 独立性检验

$\chi^2$χ2 概率分布表

参考资料：
可汗学院统计学：https://www.bilibili.com/video/av7199273/?p=73
《深入浅出统计学》