动态规划Dynamic Programming

1.动态规划理论

1.1动态规划基本思想

注意：斐波那契递归求解的时间复杂度为O（2n）。

子问题不独立适合动态规划算法设计。

分治：将原问题划分为互不相交的子问题，递归求解子问题，再将它们的解组合起来。

动态规划：子问题重叠的情况，不同的子问题具有公共的子子问题

利用动态规划需要满足：

问题中的状态满足最优性原理。 =》最优子结构
问题中的状态必须满足无后效性。 =》以前出现的状态和以前状态的变化过程不会影响将来的变化

1.2动态规划的基本步骤

2 举例

1.任务调度安排　　　　　　　　　　

2. 不相邻数字和最大

求一堆不相邻数字和最大，没有要求选两个，可以选多个。

OPT（n）指的是数据到下标为n的数字选取的最好的方案。

代码如下：

#递归方程实现
def rec_opt(arr, i):
    if i == 0:
        return arr[0]
    elif i == 1:
        return max(arr[0], arr[1])
    else:
        A = rec_opt(arr, i - 2) + arr[i]#选择当前值
        B = rec_opt(arr, i - 1)#不选当前值
        return max(A, B)
 
#非递归实现：dp动态规划
def dp_opt(arr):
    opt = [0 for i in range(len(arr))]
    opt[0] = arr[0]
    opt[1] = max(arr[0], arr[1])
    for i in range(2,len(arr)):
        A = opt[i-2] + arr[i]
        B = opt[i-1]
        opt[i] = max(A,B)
    return opt[-1]
 
arr1 = [4, 1, 1, 9, 1]
arr2 = [1, 2, 4, 1, 7, 8, 3]
print(rec_opt(arr1, len(arr1)-1))#13
print(dp_opt(arr1))#13
print(rec_opt(arr2, len(arr2)-1))#15
print(dp_opt(arr2))#15

3.给出一个数字和一个数组，判断是否数组中存在一些数的和为给出的数字

#递归实现
def rec_subset(arr, i, s):
    if s == 0:
        return True
    elif i == 0:
        return arr[0] == s
    elif arr[i] > s:
        return rec_subset(arr, i-1, s)
    else:
        A = rec_subset(arr, i-1, s-arr[i])
        B = rec_subset(arr, i-1, s)
        return A or B
 
arr = [3, 34, 4, 12, 5, 2]
print(rec_subset(arr, len(arr)-1, 9))#True
print(rec_subset(arr, len(arr)-1, 10))#True
print(rec_subset(arr, len(arr)-1, 13))#False

#非递归实现：dq动态规划
def dp_subset(arr, S):
    import numpy as np
    subset = np.zeros((len(arr), S+1), dtype=bool)
    subset[:, 0] = True
    subset[0, :] = False
    subset[0, arr[0]] = True
    for i in range(1, len(arr)):
        for s in range(1, S+1):
            if arr[i] > s:
                subset[i, s] = subset[i-1, s]
            else:
                A = subset[i-1, s-arr[i]]
                B = subset[i-1, s]
                subset[i, s] = A or B
    r, c = subset.shape
    return subset[r-1, c-1]
arr = [3, 34, 4, 12, 5, 2]
print(dp_subset(arr, 9))#True
print(dp_subset(arr, 10))#True
print(dp_subset(arr, 13))#False