莱布尼兹“逻辑加”等词项定义、还有公理和公设-逻辑与算法之十二
莱布尼兹“逻辑加”等词项定义、还有公理和公设-逻辑与算法之十二
相同和不同是莱布尼兹片断20中，最为基础的定义。展开莱布尼兹关于普遍演算的设想，余下的定义，公理和公设都不可缺，然后才能开始命题的证明。本篇继续以文本片断20为据，先给出余下的定义3-6，继而给出公理1-2和公设2的部分。
很难想象，这个世界如果没有2000年前《几何原本》的存在，今天会是什么样子。开启人类科学时代的那些如牛顿、莱布尼兹这样的大科学家，他们关于人类智能的新发现，几乎就是按照《几何原本》的模式构造的。简直就可以说，没有《几何原本》这个希腊原创，就没有今天的科学。定义，公理，公设，命题，这个《几何原本》首卷平面几何基础奠定的模式，是人类为这个世界留下的永恒。
接续上篇定义2，有几个依据定义1和2来证明的命题1-4。它们有了简单证明后，定义3-6就随之出现。这些有关词项的定义，仿佛让人看到亚里士多德三段论的影子，包含、下属、合成、全异等，这类用来刻画古典三段论词项之间关系的一些性质，出现在莱氏的普遍演算设想之中。
定义3：包含（contain）
A在L中，或者L包含A，这等于是说，L可以由多个词项组合而成，A是其中的一个。
图形1 包含
定义4：组合或者合成（实际上是逻辑加⊕的一种定义）
所有那些集合在一起的词项，包含在L中。这些集合起来的词项，称作相关于L而组合或者构成。
例如，B⊕N=L意指B在L中；并且意指B和N一起构成了或者组合成了L。在有更大数量词项的时候，这样构成的东西都是成立的。
定义5：下属（subalternates）
现有两个词项，如果其中的一个词项在另一个词项之中，则包含在内的那个词项，就是内包它的那个词项的下属。
例如A和B两个词项，如果或者A在B中，或者B在A中，则A在B中的A，就是B的下属，而B在A中的B，就是A的下属。
图形3 下属
定义6：全异（disparate）
两个词项，其中没有一个词项在另一个词项之中，我称这两个词项全异。
图形4 全异
公理1：逻辑加的交换律
B⊕N=N⊕B，这里的交换没有改变任何东西。
公设2：任意多的词项，例如A和B，可以加起来构成一个单一的词项，或者是A⊕B，或者是L。
公理2：逻辑加的幂等律
A⊕A=A，如果没有新东西加进去，那么也就没有新结果，或者说，这里的重复没有改变任何东西。（因为4个铜币加上另外4个铜币是8个铜币，但并不是，4个铜币加上已经数过的这4个铜币也是8个铜币。）
莱布尼兹的整个片断20，余下的就是命题了。我们且把命题及其证明部分留给下篇，对本篇的定义、公设、还有公理，结合文本片断19做一简单评述。
回看莱氏片断19，你会看到，片断19中，除给出了逻辑加“⊕”，也给出了逻辑减“─”。片断19中的定义5就是逻辑减法的定义。
片断19定义5：
如果A在L中，L除A之外还有另外词项N。而这个N，在移掉A中的所有东西之后，全都属于L，即A没有任何东西属于L，所有的剩余全都属于N，那么，这个A就被说成是被减掉了（subtracted），或者说被拿走了（removeri），N则被称为余数。
也就是：L-A=N。
这个片断19和片断20，是莱布尼兹尝试建立逻辑演算的一个缩影。建立一个仅有逻辑加运算的普遍演算，虽然仍旧有许多问题，但这个建立过程并非一蹴而就，而是一个渐进的，在试错中不断完善的过程。
莱布尼兹对于普遍演算的最早尝试，是直接用数字来表述文字概念。例如，他曾设想用素数来表达简单概念，比如用3来表述“理性”，用7来表述“动物”。用两者的相乘表示合成词项，3*7=21，就成为合成词“理性动物”。但这些使用数字的方法全都行不通，最后都被莱布尼兹放弃。（见《符号逻辑概览》第11-12页）
图形5 减法示意图
片断19引入的减法，和前述引入数字表述概念一样，放在他的演算之中也行不通。因为如果A、B、L、N表示任意概念，若L-A=N，其中的A和N就一定是互不相容的，如果相容，这个减法就失去了它在算术中曾有过的功能。但概念间的关系，我们都能够感知，他和自然数数字之间的关系很不相同。不同自然数之间只有全异关系，不同概念，或者说不同词项之间的关系，则是多种多样的。
于是，在片断20中，莱布尼兹去掉了减法，仅留下逻辑加法。这可是一个了不起的算术概念延伸，目下还不知道，是否还有更早的数学家提出过这个逻辑加的创意。如果没有，自然，莱布尼兹就是逻辑加符号的创始人。
仅留下逻辑加运算的结果，使得片断20中的演算，有更多的命题得到证明，而不是像片断19中，仅有13个定理得到证明。我们回看片断19之后，似乎就看到这两个片断之间的传承关系，片断20是片断19的升级。我们该回到片断20，继续我们对于余下命题的几何图形证明。2019/11/17