莱布尼兹命题10中的逻辑加及其转换性命题10+ -逻辑与算法之十四

莱布尼兹命题10中的逻辑加及其转换性命题10+ -逻辑与算法之十四

片断20中的命题10，依然是有关逻辑加的定理，且看莱布尼兹如何处理。

我们面前呈现两个等量公式，先将两公式左边的符号，运算逻辑加。然后，将公式右边的符号，同样运算逻辑加。这两次运算逻辑加的结果，可以用等号连接，因为它们相同。

这应该是同一法则的另一种情形，比命题9复杂一些。本篇的篇幅容量，大概只能处理这个命题及其证明了。估计也只能处理这一个命题，因为这个命题10又衍生出一个命题10+，篇幅已经够长的了。

以下为命题10内容：

命题10：如果A=L，并且B=M，那么A⊕B=L⊕M。

如果互为相同的两个词项，逻辑加上互为相同的两个词项，则其结果也相同。

证明：

1.B=M（依据假设的已知条件）

2.A⊕B=A⊕B（依据自身同一法则）

3.A⊕B=A⊕M（依据1.用相同的M替换等号右边的B），显然，替换不用处处替换，只替换你准备替换的对象就是合法的。

4.A=L（依据假设的已知条件）

5.A⊕B=L⊕M（依据4.用相同的L替换3.中等号右边的A）

证毕

莱布尼兹使用文字的例子，来说明命题10的证明结论：

A表示词项“三角形”，L表示词项“三边形”，B表示词项“正”，词项B和词项M相同（一致），M表示“在周长相同条件下等边多边图形的最大面积”，由此，“正三角形”和“构成三条等边的面积最大的三边形”相同（一致）。

自然A⊕B表示：“三角形”逻辑加上“正”。

由此而成为：“正三角形”，也就是等角三角形。

而L⊕M则表示：“三边形”逻辑加上“周长相同条件下等边多边图形的最大面积”。

由此而成为：“周长相同条件下面积最大的三边形”。（大概在古希腊时代，数悉几何学的人就已经知道，在周长相同的情况下，面积最大的三角形是等边三角形。）

这样可得：“正三角形”=“周长相同条件下面积最大的三边形”

使用与命题9几乎类似的几何图形来说明命题10的证明：

线段RS=A，RS=L，线段SX=B，SX=M，

线段RX=RS+SX=A⊕B，线段RX=RS+SX=L⊕M，

自然，A⊕B=L⊕M。

图形照片：

片断20中的命题9，用两个相同的符号，逻辑加上第三个符号，这些符号之间处于某种特殊关系时，会影响到命题9等式的处理方式，由此而产生另外的定理，这就是p20中的命题23，这留待后文再议。

本篇专注命题10，因为命题10中涉及到的四个符号ABLM，显然比命题9复杂。这个稍嫌复杂的命题10，它还在对其所做的评注中，衍生了一个转换性命题。

且看原文片断20，在命题10之后，有一段简单的评注：

评注.这个命题不可能被转换，因为，如果A⊕B=L⊕M，并且A=L，它依然并未推出B=M，或多或少可以推出以下可以转换的命题。（（指命题11，下文论及，）摘自C.I.Lewis《符号逻辑概览》第381页））

这个评注，等于是把命题10的后件换为一个前提，而把前提中的第二个已知条件换为后件。新的命题就成了：

命题10+：如果A⊕B=L⊕M，并且A=L，那么B=M。”

考虑一下，为什么“如果A⊕B=L⊕M，并且A=L，它依然并未推出B=M，”？

从单个符号逻辑相加的结果，等量加等量，其和相等，这可以用莱布尼兹演算的定义和公理来支撑。而把复合的逻辑加命题分解，从上述两个前提，推出逻辑加右手的两个符号相等，好像没有相应的支撑。很容易举出一个反例，当A⊕B=A时，那么L⊕M=A，B和M作为A的一部分，有可能相同，但也可能不相同。

拿一个文字的例子也可以反驳这个命题：

A=三角形，B=等边三角形，L=三边形，M=直角三角形。

那么就有：三角形⊕等边三角形=三边形⊕直角三角形。

但是等边三角形并不等于直角三角形。

“逻辑加”由此与“算术加”相比，虽然同是加法，但两个加法实际上区别很大。莱布尼兹之前的加法，大概就是算术加。自莱布尼兹开始，在算术加的基础上，产生了这个迁延性创新的逻辑加，这个符号的发现，让人耳目一新。它标志着，一门不同于自然数算术的新运算符号，用于文字与符号计算的算法，在17世纪的末叶，就在欧洲这块土地上萌生出了新芽。2019/11/29