莱布尼兹相同和不同观念的几何图形说明-逻辑与算法之十一
莱布尼兹相同和不同观念的几何图形说明-逻辑与算法之十一
《符号逻辑概览》附录中的节20，莱布尼兹先用文字说明某些定义，再用文字证明有关逻辑加的24个命题。在这些被描述的定义和被证明的命题中，其中有12个附之以几何作图。
这自然引发我的兴趣，从算术加引申出的逻辑加，是不是也和欧氏几何有点关联呢？也许，弄清楚这12个有几何图形的说明和证明，我们就会找到一些答案。这大概很难弯道超车，还是老老实实一个图形，一个图形地看下去。在细节上慢慢琢磨，慢慢体味，你才会找到些感觉的吧。
最先出场的是两个定义，一个是相同（same），另一个是不同（different）。莱布尼兹常常强调同一律是一切原理中的第一原理，在他的《人类理解新论》第四卷第七章，称为“公则或公理的命题”章中，他就强调：
“很久以来，我就公开地和在私人间说过，对我们通常所用的一切次级的公理都加以证明将是很重要的，办法是把它们还原为原初的公理或直接的和不可证明的公理，这些我最近在别处称之为同一性命题。”（《人类理解新论》第473页）
这个同一性，不就是片断20中最先给出的def1和def2么？在这个片断中，分别称为“相同”（same）和“不同”（different）。
莱布尼兹关于最初原则的确立，这在后世常被称为莱布尼兹同一原则。大概因为有了这个原则，莱氏的单子论，以及莱氏著名的论断：世界的万事万物都各不相同，世界上没有相同的两片树叶等，才成为他的重要哲学命题。
洛克曾经小瞧这个同一原则，他在《人类理解新论》的第八章，把这个同一性原则，看作是琐屑不足道的命题，或者是无价值的命题。因为这个同一性的原则，实在没有告诉我们任何有价值的信息，何以就成为人类理性的原初公理呢？
莱布尼兹对这个疑问的回答中，有一段话颇值得人玩味：
“那些纯粹理性的真理，是永不能使我们超出我们的清楚观念中的东西之外的。”（同上第504页）
其实，你看《几何原本》第七卷给出的有关数的22个定义，其中的第一个定义，什么是一，该定义的方式，颇类同莱布尼兹的“相同”定义，也有那么一点琐屑不足道的味道。
“1.每个事物都是因为它是一个单位而存在的，这个单位叫做一。”
（《几何原本》第213页）
但可别小瞧这个“一”的定义，也别小瞧了这个“同一性原则”，数学中嗣后出现的有关数字1的诸多观念，大都来自于这个1的定义。而在逻辑中，后来出现的等值、等价、同态、同构等诸多与相同类似的概念术语，不都源自这个看似无价值的同一性原则么？
还是回到片断20中来吧。
我们先看定义1和定义2的文字定义。
Def1 相同
可以在我们愿意的任意地方将词项（terms）互相替换，也不改变任意陈述的真，就是“相同”或者“一致”。例如，三角形和三边形，在欧几里得论及到包含三角形和三边形这两个词项的命题时，每一个被证明的这类命题中，这两个词项都可以互为替换而没有失掉命题的真。
以上是对“相同”的文字定义。接之就有图形1配以说明：
图形1的文字说明：
A=B意指，A和B相同。
或者如我们说到直线XY和直线YX时，把它们看作相同，即XY=YX。
或者也可以这样说，从一个点X移动到Y，这和说从一个点Y移动到X，这两种移动形成的直线A和直线B是一致的，也就是相同的。
图形1：相同
按照这个相同定义，很明显，的确是这个现实的世界没有两片相同的树叶，这个世界的万事万物全都各不相同。当我们说一个对象和另一个对象相同的时候，我们实际上指称的是同一个对象，不过是我们的认知，把同一个对象做了不同的命名而已。
Def2 不同
不相同的若干个词项，那就是说，不能够总是互为替换的词项，就是“不同”。例如几何图形中的园，三角形或者正方形，等边四边形等，我们可以用“菱形”谓指最后的“等边四边形”，但菱形却不能谓指正方形。
先有图形2的文字说明：
A≠B，意指A和B是不同的，如图形2所示，直线XY=A和直线RS=B。自然，这两条线段不同。
再有图形2：不同
由点线面构成的几何图形，应该和由文字构成的词项有所不同。几何图形似乎无所谓内涵外延之分，就这点而言，片断20中的逻辑加，从相同和不同这两个基本定义出发，有些就可以用几何图形来说明他的证明，而还有一半多，大约就不能用图形来说明。
我们在下篇中先给出几个几何图形的证明，以对莱布尼兹的逻辑加，以及相关观念有进一步的理解。2019/11/15