Projective Geometric Algebra 射影几何代数

参考并概括自 Geometric Algebra for Computer Graphics, Siggraph 2019 Course Notes, Charles G. Gunn 。

注：非翻译。跳过了第1, 2, 3的导入章节。本文图片均引用自参考文献。

Projective Geometric Algebra，射影几何代数，下面简称PGA，是欧式空间中处理几何关系的一套代数工具。几何的代数工具对于在现代工程学、CAD、VR、3D游戏、动画等各个相关领域非常重要。一般比较熟悉也是应用十分广泛的，是向量、线性代数、解析几何(Vector and Linear Algebra and Analytic Geometric, 简称VLAAG)的一套框架。而PGA是另一套现代方法，与传统的VLAAG方法有所不同，从另一个角度，另一个观点来求解欧式空间中的几何问题。

Chpt. 4 Immersive introduction to geometric algebra

几何代数的基本哲学就是：几何的运算都是数的运算(Geometric primitives behave like numbers)。在PGA中，基本形(geometric primitives. 点、直线、平面)等，由**外代数(exterior algebra)**中不同阶(grade)的向量表示，例如3D空间中：

• scalar: 0-vector
• plane: 1-vector
• lines : 2-vector
• point: 3-vector

每一阶的都构成一个向量代数空间（运算为加法和乘法）。几何代数的元素被称作多重向量(multivector)，是k-vector的“和”。一个multivector $M$M的k阶部分，记作$\langle M \rangle_k$⟨M⟩k​。几何图元之间的关系通过**几何积(geometric product)**来表达。

下面举一些用PGA解决常见几何问题的形式化的例子，感受PGA方法的框架的运用。

Example 1. 3D空间中的点直线

目标任务：对三维欧式空间$E^3$E3中给定的一个点$P$P，一个不经过该点的直线$\Pi$Π。找到唯一的直线$\Sigma$Σ经过$P$P点并和直线$\Pi$Π正交。

一个直线$\Pi$Π（2-vector），和一个点$P$P(3-vector)，通过几何积$\Pi P$ΠP，包含了两个部分，一个1-vector，一个3-vector
$\Pi P=\langle \Pi P\rangle_1+\langle \Pi P \rangle_3$ΠP=⟨ΠP⟩1​+⟨ΠP⟩3​

1. $\langle \Pi P\rangle_1$⟨ΠP⟩1​ 是垂直于直线$\Pi$Π过点$P$P的平面，记作$\Pi \cdot P$Π⋅P
2. $\langle \Pi P\rangle_3$⟨ΠP⟩3​ 是平面的法线方向。在这个例子中用不到。

如Fig. 1中所示，我们想求的直线$\Sigma$Σ可以这样得到：

1. $\Pi \cdot P$Π⋅P是垂直于直线$\Pi$Π过点$P$P的平面
2. 点$(\Pi\cdot P)\wedge \Pi$(Π⋅P)∧Π是平面$\Pi \cdot P$Π⋅P与直线$\Pi$Π的交点
3. 直线$\Sigma :=((\Pi\cdot P)\wedge\Pi)\lor P$Σ:=((Π⋅P)∧Π)∨P，是交点到$P$P的直线。其中，$\wedge$∧ $\lor$∨是外代数中的运算概念。后面的章节将会详细介绍。

Example 2. 一个3D万花筒(Kaleidoscope)

目标任务：一个 k-Kaleidoscope 是$E^3$E3中一对镜子平面$\bold{a},\bold{b}$a,b，两平面之间夹角为$\Pi/k$Π/k。给一个几何体$G$G，通过镜像复制，生成一个$G$G在这个“万花筒”中看到的形状。

在PGA中, $\bold{a}$a是一个1-vector。可以normalize使得$\bold{a}^2=1$a2=1。在PGA中，一个物体对几何的反射，通过**"sandwich"运算**$\bold{aGa}$aGa实现，其中$\bold{G}$G可以是任意的几何元。$\bold{a}^2=1$a2=1的作用是保证几何体经过sandwich形状相同。

在Fig. 2 第二幅图中，是$\bold{bGb}$bGb和$\bold{aGa}$aGa的结果。第三幅图中，是$\bold{G}$G对$\bold{a,b}$a,b任何可能的所有反射的结果（e.g. $\bold{baGab}$baGab）。例如，若镜子平面的夹角是$\Pi/6$Π/6，则这个万花筒反射复制了$12$12个几何体$\bold{G}$G。（在这里，$\bold{(ab)}^6=\bold{(ba)}^6=1$(ab)6=(ba)6=1）。

Example 3. 一个3D中连续螺旋的动作

目标任务：表示一个3D的连续螺旋动作(screw motion)

$E^3$E3中一般的物体姿态方向不变的变换是螺旋动作，即围绕一个特定直线（轴）旋转，同时沿平行于这个直线的方向平移。平移距离和旋转弧度的比，叫做螺距(pitch)。只有旋转的运动的螺距是0，只有平移的运动的螺距是$\infty$∞。

在Example 2. 中，我们已经看到了包含旋转的操作，它通过在两个有夹角的平面之间反射实现。(i.e., $\bold{b(aGa)b}$b(aGa)b，就是旋转两倍反射平面夹角的结果，在上面的例子中是$\pi/3$π/3）。

下面我们用不同但有些类似的方法来得到绕特定轴的旋转。在$E^3$E3中，一个过点$P$P，以$V$V为方向的直线通过KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 10: \Omega:=P\̲o̲r̲ ̲V得到(Fig. 3中的黄线)。可以通过normalize使得$\Omega^2=-1$Ω2=−1。为了得到围绕$\Omega$Ω旋转$\alpha$α的转动，定义motor $e^{t\Omega}$etΩ. 感觉类似于以复数为指数，因为$\Omega^2=-1$Ω2=−1。利用前面的sandwich运算，我们就得到$e^{t\Omega}Ge^{-t\Omega}$etΩGe−tΩ，就能够实现$G$G围绕$\Omega$Ω连续旋转的结果。若$t=0$t=0，则保持不变。$t=\alpha/2$t=α/2时，表示旋转弧度$\alpha$α。对四元数熟悉的读者应该能注意到它与四元数表示旋转的相似之处，这并不是巧合。在后面的章节中会介绍。

为了得到一个沿$\Omega$Ω的平移变换，我们用一个不同的直线：通过polarity运算:$\Omega^\perp$Ω⊥。$\Omega^\perp$Ω⊥是$\Omega$Ω的正交补，且长度为无穷。它由所有$\Omega$Ω垂直的方向组成。如果$\Omega$Ω看做是一个竖直的轴，则$\Omega^\perp$Ω⊥是水平直线。在PGA中，正交补是通过乘上一个特殊的 4-vector得到的，单位**伪标量（pseudoscalar，**是几何代数最强大也有趣的工具之一） $\bold{I:\Omega^\perp:=\Omega I}$I:Ω⊥:=ΩI。一个连续的平移是通过一个对平移量$e^{t\Omega^\perp}$etΩ⊥做sandwich运算得到的。

将上面的旋转、平移结合起来，对于螺距为$p\in \R$p∈R的螺旋运动，可以表示为
$e^{t(\Omega+p\Omega^\perp)}=e^{t\Omega} e^{t\Omega^\perp}$et(Ω+pΩ⊥)=etΩetΩ⊥
用它来对$\bold{G}$G作sandwich运算。

在接下来的章节中，将会介绍PGA的数学基础。

参考文献

[1] Charles G. Gunn. Course notes Geometric Algebra for Computer Graphics SIGGRAPH 2019.

水平有限，笔记概括可能有不好的地方。如有错误请指正，如有疑惑可参考上述资料。