三轮全向底盘运动学性能分析

速度分析

建立三轮底盘的速度物理学模型如图所示。

三轮全向底盘运动学性能分析
其中v_1、v_2、v_3分别为三个轮子的转速，ω为旋转角速度，v_x、v_y为车身坐标系中的速度即相对速度（由于底盘速度性能与在世界坐标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身坐标系与世界坐标系X,Y方向重合），a为旋转中心到轮轴心的垂直距离，θ为轮轴与x轴夹角，θ=π/6。不难得出各轮速度的转换矩阵为：

[\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 0 & a \\ \sin \frac{π}{6} & - c o s \frac{π}{6} & a \\ \sin \frac{π}{6} & \cos \frac{π}{6} & a \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ ω \end{matrix}]

记

v^{T} = [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]

，

V^{T} = [\begin{matrix} v_{x} & v_{y} & ω \end{matrix}]

,转换矩阵为

R

，则有

v^{T} = R V^{T}

{R^{- 1} v}^{T} = V^{T}

即

[\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ ω \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{1}{3 a} & \frac{1}{3 a} & \frac{1}{3 a} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}]

所以

V_{max} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\frac{4}{9} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} - v_{1} v_{2} - v_{1} v_{3} - v_{2} v_{3})}

其中

{v_{1}, v_{2}, v_{3}} \in [- v_{m,} v_{m,}]

。

又由不旋转的条件可知

ω = \frac{1}{3 a} (v_{1} + v_{2} + v_{3}) = 0

即

v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0

由以上两式，构造非线性规划模型，用MATLAB求解得：

直线行走的最大速度

V_{max} = \frac{{2 v}_{m}}{\sqrt{3}}

各方向速度图像：

三轮全向底盘运动学性能分析

分析可知，三轮底盘当沿着一个轮轴方向前进时，速度可取到平动的最大值

\frac{{2 v}_{m}}{\sqrt{3}}

。

加速度分析

假设启动阶段驱动电机处于恒转矩模式，即各轮驱动力恒定，建立三轮底盘的驱动力物理学模型如图所示。

三轮全向底盘运动学性能分析

其中f_1、f_2、f_3分别为三个轮子的驱动力，α为角加速度，a_x、a_y为车身坐标系中的加速度即相对加速度（由于底盘速度性能与在世界坐标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身坐标系与世界坐标系X,Y方向重合），a为旋转中心到轮轴心的垂直距离，θ为轮轴与x轴夹角，θ=π/6。不难得出驱动力与加速度之间的转换矩阵为：

[\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ α \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{1}{m} & \frac{1}{2 m} & \frac{1}{2 m} \\ 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2 m} & \frac{\sqrt{3}}{2 m} \\ \frac{a}{J} & \frac{a}{J} & \frac{a}{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \end{matrix}]

利用与上述相同的方法，可以得到加速度在各个方向上的极值，如下图：

三轮全向底盘运动学性能分析

因此，对三轮底盘来说，最大速度和最大加速度均发生在与一个轮轴重合的方向上。

非线性归划求极值MATLAB源码

三轮全向底盘运动学性能分析

速度分析

加速度分析

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