李群与李代数的理解

     1、 为什么要引出李代数？

      因为在求解相机的状态估计是变换矩阵T是要被估计的量。

     一般的思路寻优最小值的话就需要对T求导。变换矩阵不会求导，所以引入了李群和李代数，李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。

     2、李代数的反对称阵如何理解？

    反对称阵主对角线均为0，等式左边第2行第1列位置的元素，是矩阵A元素a12转置后到了位置a21，等式右边原来a21变成了 -a21，所以其实对于矩阵A，元素a12 = -a21，所以用一个元素及其负数就可以表示矩阵中这两个元素，同理，其他4个元素也是这样。所以，其实矩阵A中非对角线元素只用3个元素就可以表示。也就是说反对称矩阵A只有3个自由度。

如下图A即为反对称阵。

         

A 中有a1 a2 a3三个元素决定，所以只有三个自由度。

         于是定义了一个三维向量：

          

 

             然后我们用一个上三角符号来表示这个向量α和三维矩阵A的对应关系：

                

           通过这个符号，我们把向量和矩阵建立了对应关系。这个在后面非常重要，比较难理解，但是，一会后面有个结论，你就知道原因了。

3、李群和李代数之间关系SO(3)[变换矩阵]

      

 其中：三维向量 φ = θa，a是一个长度为1的方向向量。

          （1）你可以理解为θa^为李代数，R=exp(θa^)为李群。

            (2)   还有一层就是，这个公式罗德里格斯代表了从旋转向量==->旋转矩阵的过程。

           （3）李代数so3实际上是由所谓的旋转向量组成的空间，物理意义就是旋转向量。

   旋转矩阵的导数可以由其对应的旋转向量指定，指导如何在旋转矩阵中进行微积分运算。

  

 

参考了：https://mp.weixin.qq.com/s/sVjy9kr-8qc9W9VN78JoDQ

              https://blog.****.net/weicao1990/article/details/83375148