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机器学习前沿青年科学家专题论坛

主要内容

概述

鬲融教授(Duke University)结合当前Learning-to-learn方法面临的挑战，在quadratic objective分析了一些optimizer(GD和SGD)，通过分析，得出了1，小心地选择meta-objective也许能缓解explosion/vanishing 问题；处理反向传播问题要小心； 2，当只有很少的样本和很多噪音时，需要在单独的验证集上定义meta-objective。

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当我们训练一个神经网络的时候，通常会有很多tricks。比如训练SGD，就会遇到怎么设置Step size,momentum,weight decay,batch normalization 等，所以往往不是听上去那么简单。也许你想自动地训练这些过程，或者你还想进一步自动地发现新的tricks。人们已经考虑到了这个问题，并且提出了Learning to learn。

关于Learning to Learn 方法：

• idea是使用meta-learning 方法来学习一个新的optimizer；
• Goal是对一些任务优化目标函数；
• 比较高层次(high-level)的idea不是使用定义好的SGD或者adam，事实上是把优化算法抽象成一个箱子，我们通过改变参数θ，这个箱子接收一些信息，比如当前的点w，目标函数在当前点的值$f(w)$f(w)以及目标函数梯度在当前点的值$\nabla{f(w)}$∇f(w)等等，然后输出一个当前的点应该移动的方向。所以一旦你有了这样的一个带有参数θ的abstract optimizer，你可以为这些任务来优化参数θ。
• Optimizer可以很简单，但是也可以是一个神经网络。

所以你需要怎样来训练你的optimizer？ 步骤如下：

• 将optimizer展开为t步
• 在trajectory上定义一个meta-objective (具体定义方法我们会在后面介绍)
• 在参数θ上做(meta-)gradient descent
• 某种程度上和recurrent neural network/policy gradient很像，因为你需要分享θ

你也许希望上手就能解决问题，但是事情并没有那么简单。在目前的研究中存在着一些问题(见下图)。
本次的工作：为简单的quadratic objective分析简单的optimizer(GD和SGD)，learning-rate是唯一我们要tune的参数。实际上，即使是这些简单问题，也需要花费努力去解决。

我们的结果。

• 对于Quadratic Objective的Gradient explosion/vanishing

  • 即使是非常naive的meta-objective在所有的step size中也会有meta-gradient explosion/vanishing 。
  • 我们可以设计一个更好的meta-objective使得它的meta-gradient保持多项式有界的。
  • 即使是对于新的objective，使用反向传播来计算meta-gradient也会导致一些数值问题。

• 最小二乘训练优化器的一般化

  • 在样本数量小时，需要在单独的验证集(separate validation set)上定义meta-objective。
  • 当样本数量大时，可以仅仅在训练集(training set)上定义meta-objective。

所以首先来看看我们的第一个结果(对于Quadratic Objective的Gradient explosion/vanishing),我们定义了一个简单的Objective 函数，固定步长的梯度下降，同时定义了一个Naive meta-object。
通过一些简单的计算，我们能够证明对于几乎所有的值η，meta-gradient $F'(η)$F′(η)在T上要么非常大，要么非常小。

所以怎么来解决这个问题？
Idea：meta-gradeint很大是因为objective在T上很大或者很小。
所以我们可以对原来的objective取对数。我们可以证明对于新的objective，它的meta-gradient $G'(η)$G′(η)在相关参数中总是多项式的，此外拥有meta-step大小为$1/\sqrt{k}$1/k​的meta-gradient收敛。
然而，如果使用backpropagtion计算$G'(η)$G′(η)，会出现项极大或极小的情况。

我们也进行的了实证验证。

现在我们来讨论我们第二个result(最小二乘训练优化器的一般化)。
首先我们来设置一下我们的问题，我们要解决的是最小二乘问题，目标是要恢复$w_{*}$w∗​,使用图中的Ojbective和Algorithm，所以我们怎样定义一个meta-objective?

有两种idea来定义meta-objective。

• Train-by-train(旧)
• Train-by-validation(新)

我们可以证明，当σ是一个足够大的常数时，并且样本数量n是维度d的常数分数，那么train-by-validation会更好一些；当样本数量n远大于维度d时，两种方案都能work。
对于神经网络，通常是第一种情况发生。

我们这里给出一些high-level proof idea。

进行实证验证。

最后进行总结。

• 小心地选择meta-objective也许能缓解explosion/vanishing 问题；处理反向传播问题要小心。
• 当只有很少的样本和很多噪音时，需要在单独的验证集上定义meta-objective

还有一些开放的问题

• 我们可以缓解neural network optimizer的gradient explosion/vanishing 问题和数值问题吗？
• 我们可以在可证明地在更复杂的objectives上的更复杂的optimizers上调优参数吗？