雷达系统学习笔记（九）——合成孔径雷达2

第十章合成孔径雷达

10.3 合成孔径雷达的另外一种解释

本节从分析回波信号的特性入手，从频谱分析、相关、匹配滤波角度来说明合成孔径原理。

10.3.1 回波信号特性

雷达系统学习笔记（九）——合成孔径雷达2
　　假设被测目标为一理想点目标p，p点与航线x的垂直斜距为 $R_{0}$ ，我们把航线x和 $R_{0}$ 所构成的平面作为坐标平面。设飞机在 $t = 0$ 处在坐标原点。在某一瞬时t，飞机的位置在 $x_{a} = v_{a} t$ 。点目标p的位置在这个坐标系里是固定的，其坐标为 $(x_{p}, R_{0})$ 。在t时刻，p点与飞机上雷达天线的斜距R为：

R = \sqrt{R_{0}^{2} + (x_{a} - x_{p})^{2}}

一般情况下， $R_{0} >> (x_{a} - x_{p})$ ，上式可近似为

R = R_{0} \sqrt{1 + \frac{(x_{a} - x_{p})^{2}}{R_{0}^{2}}} \approx R_{0} + \frac{(x_{a} - x_{p})^{2}}{2 R_{0}}

天线发出的是周期性的相干等幅高脉冲波，设其频率为 $f_{0}$ ，振幅为A，脉冲重复频率为 $f_{r}$ ，重复周期为 $T_{r} = 1 / f_{r}$ ，脉冲宽度为 $τ$ 。
①假设发射的为一连续波余弦信号，把实际信号看成是对连续信号的抽样，其抽样率即为脉冲重复频率 $f_{r}$ ；
②假定余弦信号的振幅归一化为1，起始相位为0，则有：
发射信号　 $S_{0} (t) = R e (e^{i w t})$
回波信号　 $S_{r} (t) = R e [K σ^{0} e^{j w (t - τ_{0})}]$
式中，K表示由距离R及其他因素引起的对信号幅度的衰减因子， $τ_{0}$ 为信号往返延迟。
那么 $τ_{0} = 2 R / c$ ， $τ_{0} = \frac{2}{c} [R_{0} + \frac{(x_{a} - x_{p})^{2}}{2 R_{0}}] = \frac{2 R_{0}}{c} + \frac{(x_{a} - x_{p})^{2}}{c R_{0}}$ ，

S_{r} (t) = R e {K σ^{0} e x p [j w (t - \frac{2 R_{0}}{c} - \frac{(x_{a} - x_{p})^{2}}{c R_{0}})]}

归一化后，

S_{r} (t) = e^{j w t} e^{- j \frac{4 π R_{0}}{λ}} e^{- j \frac{2 π (x_{a} - x_{p})^{2}}{λ R_{0}}}

这里，

λ = c / f_{0}

，

取实部后有：

S_{r} (t) = c o s [w t - \frac{4 π R_{0}}{λ} - \frac{2 π (x_{a} - x_{p})^{2}}{λ R_{0}}]

这个信号的相位部分由三项组成： $φ = φ_{1} + φ_{2} + φ_{3}$
$φ_{1}$ ：原始发射信号的一次相位（线性相位）；
$φ_{2}$ ：是随 $R_{0}$ 而变的相位项，但与时间无关。对同一垂直斜距的目标来讲， $R_{0}$ 是常数， $φ_{2}$ 是常数相位；
$φ_{3}$ ：最重要的相位项,也可写成 $φ_{3} = - \frac{2 π (x_{a} - x_{p})^{2}}{λ R_{0}}$ ，随时间呈平方律变化的二次相位项。
将相位对时间进行求导，再除以 $2 π$ ，即得回波信号的瞬时频率：

f_{t} = \frac{1}{2 π} \frac{d}{d t} [w t - \frac{4 π R_{0}}{λ} - \frac{2 π v_{a}^{2} (t - t_{0})^{2}}{λ R_{0}}] = f_{0} - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} (t - t_{0})

式中， $f_{0}$ 是发射信号的载频。第二项是因为天线与目标有相对运动而引起的多普勒频移，通常用 $f_{d}$ 表示。

f_{d} = - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} (t - t_{0})

它随时间呈线性变化，可见回波信号是一种线性调频信号，其调频斜率为

k_{a} == - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}}

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从上图可以看出，点目标p引起的多普勒频移有一个范围，以 $t = t_{0}$ 为中心向正负两方向变化。当 $t = t_{0}$ 时，天线位置正好处在p点与航线的垂直斜距点 $f_{d} = 0$ ；在 $t = t_{0}$ 时刻以前， $t - t_{0} < 0 \to f_{d} > 0$ ,其最大值发生在 $t = t_{0} - \frac{L_{s} / 2}{v_{a}} = t_{0} - \frac{T_{s}}{2}$ ，此时的多普勒频移为：

f_{d 1} = - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} (t_{0} - \frac{L_{s}}{2 v_{a}} - t_{0}) = \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} \frac{L_{s}}{2 v_{a}} = \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} \frac{T_{s}}{2}

L_{s}

为p点所在位置的合成孔径长度，

T_{s}

为合成孔径时间。

在 $t = t_{0}$ 时刻以后， $t - t_{0} > 0 \to f_{d} < 0$ ,其最大负值发生在 $t = t_{0} + \frac{L_{s}}{2 v_{a}} = t_{0} + \frac{T_{s}}{2}$ ，这时，多普勒频移为：

f_{d 2} = - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} (t_{0} + \frac{L_{s}}{2 v_{a}} - t_{0}) = - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} \frac{L_{s}}{2 v_{a}} = - \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} \frac{T_{s}}{2}

那么点目标p的回波多普勒频移的带宽为：

△ f_{d} = f_{d 1} - f_{d 2} = \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} T_{s} = \frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} L_{s}

由于 $T_{s}$ 可以表示成

T_{s} = \frac{L_{s}}{v_{a}} = \frac{θ R_{0}}{v_{a}}

故多普勒带宽也可以写成：

△ f_{d} = \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} \frac{θ_{a} R_{0}}{v_{a}} = \frac{2 v_{a}}{λ} θ_{a}

上式表明，回波信号的多普勒带宽与飞机航速 $v_{a}$ 、合成孔径长度 $L_{s}$ 或航向波束宽度 $θ_{a}$ 成正比。

从线性调频信号的频谱来考察回波信号的特点，即

S_{r} (t) = e^{- j \frac{2 π v_{a}^{2} (t - t_{0})^{2}}{λ R_{0}}}

把调频斜率 $k_{a}$ 带入得

S_{r} (t) = e^{- j π k_{a} (t - t_{0})^{2}}

回波信号的包络为幅度归一化的矩形脉冲：

a (t) = r e c t (t / T) = {\begin{matrix} 1, 0 \leq t \leq T \\ 0, 其 他 \end{matrix}

假定 $t_{0} = 0 \to x_{p} = 0$ ,于是有 $S_{r} (t) = a (t) e^{j π k_{a} t^{2}}$ ，其频谱为：

S (w) = \int_{+ \infty}^{- \infty} a (t) e^{j π k_{a} t^{2}} e^{- j w t} d t

利用注定相位原理来计算上述积分。被积函数的相位为 $φ_{i} = w t - π k_{a} t^{2}$

\frac{d}{d t} φ_{i} = w - 2 π k_{a} t = 0 \to w = 2 π k_{a} t = φ^{,} (t)

$φ^{,} (t)$ 表示回波信号的相位 $π k_{a} t^{2}$ ，驻定相位点的时刻 $t_{k}$ 为

t_{k} = \frac{w}{2 π k_{a}}

S (w) = \int_{t_{k} - △}^{t_{k} + △} a (t) e^{- j (w t - π k_{a} t^{2})} d t

$\pm △$ 表示驻定相位点在 $t_{k}$ 附近的时刻。
把相位项 $w t - π k_{a} t^{2}$ 在驻定相位点 $t_{k}$ 展成幂级数，用 $φ (t)$ 表示回波信号的相位 $π k_{a} t^{2}$ ，有

w t - φ (t) = w t_{k} - φ (t_{k}) + [w - φ^{,} (t_{k})] (t - t_{k}) - \frac{φ^{"} (t_{k})}{2!} (t - t_{k})^{2} + . . . . . .]

在 $t - t_{k}$ 很小的条件下，取前三项即可。

w t - φ (t) = w t_{k} - φ (t_{k}) - \frac{φ^{"} (t_{k})}{2!} (t - t_{k})^{2}

那么，

S (w) = a (t_{k}) e^{- j [w t_{k} - φ (t_{k})]} \int_{t_{k} - △}^{t_{k} + △} e^{- j [φ^{"} (t_{k}) / 2] (t - t_{k})^{2}} d t

做变量置换：

S (w) = \sqrt{2 π} \frac{a (t_{k})}{\sqrt{| φ^{"} (t_{k}) |}} e^{- j [w t_{k} - φ (t_{k}) - \frac{π}{4}]} = \frac{a (t_{k})}{\sqrt{k_{a}}} e^{- j [w t_{k} - π k_{a} t_{k}^{2} \frac{π}{4}]}

式中，积分项为菲涅尔积分的一种形式，有专用的数学表可查。若积分上限较大，则这一积分趋于 $e^{j π / 2}$ 。
化简后，由于归一化矩形脉冲的振幅a(t)为一常数，则振幅谱也是矩形的，可以写成：

| S (w_{t}) | = \frac{a (t)}{\sqrt{k_{a}}} \to | S (w_{t}) | = \frac{1}{\sqrt{k_{a}}} r e c t \frac{w}{△ w}

回波信号的相位谱：

φ (w) = - \frac{w^{2}}{4 π k_{a}} + \frac{π}{4}

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10.3.2 从频谱分析、相关、匹配滤波角度解释合成孔径原理

设地面上有两个点目标p1和p2，它们与飞行航向的垂直斜距相同，均为R0，二者所处方位不同，在x方向的坐标分别为x1、x2。根据上一节它们的回波信号都是线性调频信号，这两个线性调频信号的带宽都等于多普勒频移的带宽，其值为

△ f_{d} = \frac{2 v_{a}^{2}}{λ R_{0}} T_{s}

式中， $T_{s}$ 表示合成孔径时间。p1和p2的区别：多普勒变化过程的起始点和终点不同。
设机载雷达天线从时间起点t=0和位置起点x=0开始向前移动，并发射第一个脉冲。天线波束在目标p1处的波束宽度，即合成孔径长度 $L_{s} = θ_{a} R_{0}$ 。若这是波束前沿刚好照射到目标p1，p1回波信号多普勒频率变化的时间起始点t1=0。设第二个目标p2与p1的直线距离为

△ x = x_{2} - x_{1}

则p2的回波信号多普勒频率变化的起始点显然为 $t_{2} =△ x / v_{a}$ 。时间起始点两者的差别为

△ t = t_{2} - t_{1} =△ x / v_{a}

由于 $v_{a}$ 是常数，如果能分辨△t，也就能分辨△x。从频域角度看：在同一时刻，两个回波信号的瞬时频率不太一样。设在时刻t飞机的位置在 $x_{a} = v_{a} t$ ,这时第一个回波的瞬时多普勒频率：

f_{d 1} = \frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} (x_{a} - x_{1})

第二个回波的瞬时多普勒频率为：

f_{d 2} = \frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} (x_{a} - x_{2})

两者的差为：

f_{d} 1 - f d 2 = \frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} (x_{2} - x_{1}) = \frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} △ x

如果能够分辨这个频率差，也就能分辨 $△ x$ 。
分辨频率和分辨时间的途径：混频和相关
混频：采用一个具有相同调频斜率的线性调频信号作为本地信号，和两个回波信号 $S_{r 1} (t)$ 和 $S_{r 2} (t)$ 进行混频，即用一个乘法器进行相乘，在乘法器的输出端就会有和频及差频信号，在乘法器后面再接一个低通滤波器，则在滤波器输出端就会得到两个恒定频率（单频）的信号p1(f1)、p2(f2)。

将其振幅归一化后变为矩形振幅的单脉冲信号，脉宽为Ts(合成孔径时间)。

s_{1} (t) = r e c t (t / T_{s}) e^{j w_{1} t}

s_{2} (t) = r e c t (t / T_{s}) e^{j w_{2} t}

这类脉冲的频谱呈sinc型

S_{1} (w) = \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} e^{j w_{1} t} e^{- j w t} d t = T_{s} \frac{s i n [\frac{(w - w_{1}) T_{s}}{2}]}{(w - w_{1}) T_{s} / 2}

S_{2} (w) = \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} e^{j w_{2} t} e^{- j w t} d t = T_{s} \frac{s i n [\frac{(w - w_{2}) T_{s}}{2}]}{(w - w_{2}) T_{s} / 2}

其半功率点宽度均为： $△ f = \frac{1}{T_{s}}$ ，带宽与脉冲宽度成反比，即

△ f = f_{d 1} - f_{d 2} ⩾ \frac{1}{T_{s}}

即

\frac{2 v_{a}}{λ R_{0}} △ x = \frac{1}{T_{s}} \Rightarrow△ x = \frac{λ R_{0}}{2 v_{a}} \frac{1}{T_{s}} = \frac{λ R_{0}}{2 L_{s}}

设单个天线方位向孔径为 $D_{x}$ ，则

L_{s} = \frac{λ R_{0}}{D_{x}} \Rightarrow δ =△ x = \frac{1}{2} D_{x}

相关技术

R_{11} (τ) = \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} S_{r 1} (t) S_{r 1} (t + τ) d t = \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} S_{r 1}^{*} (t) S_{r 1} (t + τ) d t

第一个回波的线性调频信号可写成， $S_{r 1} (t) = e^{j π k_{a} t^{2}}$ ，其自相关函数可求出，

R_{11} (τ) = \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} e^{- j π k_{a} t^{2}} e^{j π k_{a} (t + τ)^{2}} = e^{j π k_{a} τ^{2}} \int_{- T_{s} / 2}^{T_{s} / 2} e^{j 2 π k_{a} t τ} d t = T_{s} \frac{s i n (π k_{a} T_{s} τ)}{π k_{a} T_{s} τ}

其输出自相关函数亦为sinc型，峰值点出现在 $τ = 0$ ，其第一个零点发生在 $π k_{a} T_{s} τ_{1} = \pm π$ ，即

τ = \pm \frac{1}{k_{a} T_{s}}

主瓣宽度为：

2 τ_{1} = \frac{2}{k_{a} T_{s}}

半功率点一般取主瓣宽度的一半，即

Δ τ = \frac{1}{k_{a} T_{s}}

第二个目标p2的回波相关函数的形状与第一个完全相同，知识峰值出现的时间稍晚，有一个时延 $Δ t$ ， $Δ t$ 与目标p1,p2的距离 $Δ x$ 有如下关系

Δ t = \frac{Δ x}{v_{a}}

两个峰值可分辨的极限是：第二个峰值的延迟 $\pm t$ 应不小于主瓣的半功率点宽度。

Δ t ⩾ \frac{1}{k_{a} T_{s}} \to δ_{t} = Δ t = \frac{λ R_{0}}{2 v_{a}^{2} T_{s}} = \frac{λ R_{0}}{2 v_{a} L_{s}}

单个天线方位向孔径为

D_{x}

，则

L_{s} = \frac{λ R_{0}}{D_{x}} \to δ_{t} = Δ t = \frac{D_{x}}{2 v_{a}}

于是得到空间分辨力为：

δ_{s} = Δ x = Δ t v_{a} = \frac{1}{2} D_{x}

上述这种聚焦型处理中的自相关过程是等效于匹配滤波器的。
有匹配滤波理论：滤波器的冲激响应h(t)应是输入信号 $s_{i} (t)$ 的延时镜像，即

h (t) = K s_{i} (t_{0} - t)

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10.3 合成孔径雷达的另外一种解释

10.3.1 回波信号特性

10.3.2 从频谱分析、相关、匹配滤波角度解释合成孔径原理

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