激光炸弹 - 前缀和

一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个边长为 R 的正方形内的所有的目标。

现在地图上有 N 个目标，用整数Xi,Yi表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值Wi。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个边长为 R 的正方形的边必须和x，y轴平行。

若目标位于**正方形的边上，该目标不会被摧毁。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R ,分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来N行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数Xi,Yi,Wi,分别代表目标的x坐标，y坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
0<N≤10000 ,
0≤Xi,Yi≤5000
输入样例：
2 1
0 0 1
1 1 1
输出样例：
1

时/空限制： 10s / 168MB

有关前缀和的相关知识：

一维前缀和
对于数列a[1], a[2], … , a[n]，下标从1开始
前缀和s[i]表示 s[i] = a[1] + a[2] + … + a[i]
不难看出一维前缀和就是前 i 项的累加和，因此，我们很容易观察到 s[i] - s[5] ，就是从数列的第6项到第i项的累加和。所以我们可以在O(1)的时间内求出某个区间的累加和。
二维前缀和
从一维前缀和很容易推广到二维
对于平面上的一些二维点（坐标都是正整数），前缀和s[x][y]表示红色区域的所有点的累加和。
我们现在知道了二维前缀和表示的就是原点与(x,y)点组成的与x轴，y轴平行的矩形内的点的和。那么我们怎么用二维的前缀和表示出图中红色的面积呢。
不难看出红色面积 S = s[x1][y1] - s[x2][y1] - s[x1][y2] + s[x2][y2]

所以利用二维前缀和可以在O(1)的时间内求出与x，y轴平行的矩形内所有点的权重的和。
到这里大家应该都知道二维前缀和的用法了，和我一样心里有个疑问，这么6的二维前缀和数组s[i][j]是怎么构造出来的？这里其实是一个考点，采用动态规划的方式去构造，和刚才求红色部分的矩形类似，我们很容易得到s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]

有了二维前缀和的相关知识，激光炸弹题目就迎刃而解了，我们只需要遍历一遍，求出长度为R的矩形内的总和，取最大值即可，需要注意的是边界线情况的处理，题目要求正方形边长上的不算数目，所以我们只需要把x，y坐标同时加一或者减一即可（让矩形错开一个位置）也就是只需要求边长是（R-1）的矩形即可，对应的代码上有注释。
激光炸弹代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 5005;

int g[N][N];

int main()
{
    int n, r;
    
    
    memset(g, 0, sizeof(g));
    cin >> n >> r;
    int w = r, h = r;
    for(int i = 0, a, b, c;i < n;i++)
    {
        cin >> a >> b >> c;
        a++;b++;
        w = max(w, a);
        h = max(h, b);
        g[a][b] += c;
    }
    for(int i = 1;i <= w;i ++)
        for(int j = 1;j <= h;j++)
            g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];
    
    int res = 0;
    for(int i = r;i <= w;i++)
    {
        for(int j = r;j <= h;j++)
        {
        	// g[i][j] - g[i - r][j] - g[i][j - r] + g[i - r][j - r]
        	// 正常的应该是 g[i][j] - g[i - r - 1][j] - g[i][j - r - 1] + g[i - r - 1][j - r - 1]，
        	//这里我们把边界都加上1后，就能去除正方形边长上的炸弹数目
            res = max(res, g[i][j] - g[i - r][j] - g[i][j - r] + g[i - r][j - r]);
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

激光炸弹 - 前缀和

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