矩阵求逆引理（matrix inversion lemma)

论文：Li J, Stoica P. An adaptive filtering approach to spectral estimation and SAR imaging[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 44(6):1469-1484.

问题描述：
已知
求Q^(ω)−1$\hat{Q}(\omega {)}^{-1}$?论文里给出应用矩阵求逆引理即matrix inversion lemma得到!

参考：
http://www.360doc.com/content/15/1219/11/28093736_521471881.shtml
贴图：

类比这位大神的推导，为了方便，我省略的变量ω$\omega$,上标^$\hat{}$
推导过程如下：
Q−1=(R−ZZH)−1=R−1+X${\mathbf{Q}}^{-1}=(\mathbf{R}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H{)}^{-1}={\mathbf{R}}^{-1}+\mathbf{X}$
(R−ZZH)(R−1+X）=I$(\mathbf{R}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H)({\mathbf{R}}^{-1}+\mathbf{X}）=\mathbf{I}$
E+RX−ZZHR−1−ZZHX=E$\mathbf{E}+\mathbf{R}\mathbf{X}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H\mathbf{X}=\mathbf{E}$
(R−ZZH)X=ZZHR−1$(\mathbf{R}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H)\mathbf{X}=\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=(R−ZZH)−1ZZHR−1$\mathbf{X}=(\mathbf{R}-\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H{)}^{-1}\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=(Z(Z−1R−ZH))−1ZZHR−1$\mathbf{X}=(\mathbf{Z}({\mathbf{Z}}^{-1}\mathbf{R}-{\mathbf{Z}}^H){)}^{-1}\mathbf{Z}{\mathbf{Z}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{R}}^{-1}$
X=(Z−1R−ZH)−1ZHR−1$\mathbf{X}=({\mathbf{Z}}^{-1}\mathbf{R}-{\mathbf{Z}}^H{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=R−1(Z−1−ZHR−1)−1ZHR−1$\mathbf{X}={\mathbf{R}}^{-1}({\mathbf{Z}}^{-1}-{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=−R−1(ZHR−1−Z−1)−1ZHR−1$\mathbf{X}=-{\mathbf{R}}^{-1}({\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}-{\mathbf{Z}}^{-1}{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=−R−1((ZHR−1Z−Z−1Z)Z−1)−1ZHR−1$\mathbf{X}=-{\mathbf{R}}^{-1}(({\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{Z}-{\mathbf{Z}}^{-1}\mathbf{Z}){\mathbf{Z}}^{-1}{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
X=−R−1Z(ZHR−1Z−I)−1ZHR−1$\mathbf{X}=-{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{Z}({\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{Z}-I{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
Q−1=R−1+X=R−1−R−1Z(ZHR−1Z−I)−1ZHR−1${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{R}}^{-1}+\mathbf{X}={\mathbf{R}}^{-1}-{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{Z}({\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{Z}-\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^H{\mathbf{R}}^{-1}$
证毕。