【MOOC】数字信号处理-电子科技大学-第六&七周 - 离散傅里叶变换-DFT定义及性质

1 DFT的定义

假设序列x[n]有N个点，其 N点 DFT的定义如下：

值得注意的是：DFT得到的频域的序列也是离散的。

将上面两式写成矩阵形式，则有：

对于正变换：

对于反变换：

在推导关系式时，经常需要用到的关系式：

2 DFT与DTFT的关系

通过采样从DTFT得到DFT

已知DTFT的正变换为：

对比DFT的变换式：

可知：N点DFT 就是 对DTFT以采样间隔为 2*pi/N 得到的具有N个离散点的信号。

注意：这里我们讨论的N点DFT的N 是与原序列x[n]这个有序序列中值的个数N是一样的。

下面就有M个离散点的有序序列x[n]进行的N点DFT进行讨论：

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对x[n]的DTFT变换结果为：

对DTFT结果以采样间隔为 2*pi/N 得到的信号为：

对Y[K]进行N点DFT反变换：

即

又因

则经过上面的操作还原出来的原信号：

那么接下来就要比较y[n]和x[n]这两个信号的区别，看看什么情况下y[n]会和x[n]不一致。

观察y[n]的表达式，y[n]是将x[n]进行长度为N的周期化后取 0 ->N-1的结果，可发现：

对于具有M个离散点的有序长序列x[n]：

1.若M<=N，周期化后的结果没有影响y[n]，则y[n]=x[n]（n=0、1、… 、N-1）

2.若M > N，则“还原”的信号y[n]不是原信号x[n]，前者实际会出现时域的混叠现象。

下面就第二种情况举个例子：

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通过插值从DFT得到DTFT

证明过程：

其中

因此，DTFT可通过内插函数从DFT中唯一得到。

DFT与DFS、DFS（离散傅里叶级数）与DTFT的关系

从上图可以看到：

DFS是对DTFT进行频域的离散采样得到的，其反变换得到的时域信号是离散周期的。

而N点DFT对应的变换中：其对应的时域和频域信号均是对DFS取一个周期N个点的信号。

CTFT、FS、DTFT、DFS在时域的周期性和连续性（离散性）:

3 有限长序列的运算

圆周移位

实例：

圆周反转

圆周卷积

矩阵形式如下：

实例：

另外一种求圆周卷积的方法：

圆周共轭：对称与反对称

4 DFT的性质

实例：

这部分都是概念性的东西，所以就直接贴上PPT了。