【信号与系统】（八）连续系统的时域分析 ——相关函数
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相关函数
1 互相关和自相关函数的定义
为比较某信号与另一延时τ的信号之间的相似度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。
实函数
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)，如为能量有限信号，它们之间的互相关函数定义为:
(注: R 12 ， R 21 R_{12}，R_{21} R12，R21下脚数字(12,21),前面的领先 τ τ τ)
互相关函数是两信号之间时间差
τ
τ
τ的函数。一般
R
12
(
τ
)
≠
R
21
(
τ
)
R_{12}(τ)≠ R_{21}(τ)
R12(τ)=R21(τ)。
如果
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)是同一信号，可记为
f
(
t
)
f(t)
f(t) ，这时无需区分
R
12
R_{12}
R12与
R
21
R_{21}
R21，用
R
(
τ
)
R(τ)
R(τ)表示，称为自相关函数。即 ：
容易看出，对自相关函数有：
可见，实函数 f ( t ) f(t) f(t)的自相关函数是时移 τ τ τ的偶函数。
2 相关与卷积的比较
函数
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)卷积的表达式为：
为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量
t
t
t和
τ
τ
τ进行互换，可将实函数
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)的互相关函数写为：
为了便于与互相关函数进行比较，我们将互相关函数定义式中的变量t和τ进行互换，可将实函数
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)的互相关函数写为：
两种运算的不同之处：卷积开始时需要将
f
2
(
τ
)
f_2(τ)
f2(τ)反折为
f
2
(
−
τ
)
f_2(-τ)
f2(−τ)，而相关运算则不需反折，仍为
f
2
(
τ
)
f_2(τ)
f2(τ)。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同
根据卷积的定义
可见
由上式可知，若
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关的形式完全相同