动机：

由于组内缺少数据集标签，而又没时间对数据进行标签，因此希望通过无监督学习方法，对数据进行分类。进而，通过对自动分类后的数据集进行采样标记，进而得到整体的数据标签。目前了解无监督学习，一般先了解K-means法和PCA，这涉及众多的数学知识，很多都已经不是很清晰了，此篇针对PCA中关于协方差部分，以此记录。

目的：

1.熟悉协方差,相关系数的出现的原因

2.熟悉协方差，相关系数公式

3.熟悉其内在原理

 

1.协方差出现的原因

为了了解两个随机变量的关系，因此引入协方差概念。由于协方差仅仅能描述两个随机变量是否有关系，而不能描述两个随机变量的关系密切程度，因此引入相关系数，以此描述两个随机变量的密切程度。

2.协方差、相关系数公式

设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有

（1）∣ρXY∣≤1；

（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）

3.内在原理

第一次遇见协方差是在计算两个随机变量和的方差

我们希望有一个公式描述两个随机变量之间的关系。由以前知识得到，当两个随机变量不相关，则上述公式中Cov(X,Y)为0。当Cov(X， Y)不为0， 则表示X, Y相关，即他们一定存在着某种神秘的关系。于是我们就琢磨，能否用这个协方差描述两个随机变量的亲密程度，我们不仅仅想知道两个随机变量是否相关，我们还想知道他们亲密到什么程度。

经过探索可得，协方差不能表示两个随机变量的亲密程度，例如

对随机变量X, Y分别乘以k常数，依照我们的期望，他们之间的关系不会改变。这就像两个向量拉伸或者压缩一样，他们本不应该更加亲密。而公式右边计算的结果却表明，他们更加亲密了。因此这不是我们想要的结果。

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于是，在协方差的基础上，相关系数的概念就被提出来了

我们希望即使拉伸、压缩或者增加常量，随机变量之间的关系也不会改变。那么如何达到这样的效果？

经过思考，考虑单位化的随机变量，即将随机变量变为均值为零，方差为1.

通过这样对随机变量进行操作后，即使你对随机变量执行线性变换（就是加权求和，y=ax+b），X*,Y*的均值依然为0，方差依然为1。依照方差和均值的定义，这显而易见。

通过这么做，我们得到原始随机变量的单位化表示，即X*, Y*。再求这两个随机变量的协方差，简单求解可知

即相关系数，我们通过构造一个新的表达式来表示两个随机变量的亲密程度。

那么为什么这个表达式可以表示两个随机变量的亲密程度，它为什么可以达到我们的期望呢？

这个表达式性质如下：
1.当Cov(X, Y)为0，则ρXY也为零.

2.Y=aX+b时候，即我们认为两个随机变量最亲密的时候,ρXY计算为1。

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因此相关系数满足了我们的要求，即两个随机变量不相关时候，数值计算为0.在线性相关（我们认为这两个随机变量为一模一样的时候），计算的值为1.

 

 

我有一个疑问，提出这个概念的人是为什么一定将原随机变量转化为均值为0，方差为1的。干嘛不直接在原来的协方差基础上除以E(X)E(Y），而要除以 两个随机变量的标准差?这样做还有什么别的好处么，小白请赐教？

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