小波变换主篇(2)Wavelet Transforms in One Dimension

1.The Wavelet Series Expansions
结合上一篇的知识点，我们知道一个函数f(x)可做如下分解：

其中


注意：j代表尺度当前空间的尺度，k代表当前空间的平移。
以上便是一维连续小波变换，本来应该给出一个例子，但是码代码太麻烦了，这里上传照片：

这里的基函数使用的是harr函数，计算比较复杂的就是通过上一篇的公式从harr函数求得其对应的ψ(x)$\psi (x)$函数，不过上述例子直接给出了ψ(x)$\psi (x)$函数，只用计算系数即可。由于第j0阶函数比较宽，所以其只有计算k=0的系数其余系数为0，而j1阶以上就得计算k=0,1…等多阶数据。

2.The Discrete Wavelet Transform
离散的小波变换相比于连续的小波变换主要是系数的计算方式发生了变化：

其中，M为离散点的个数，φj0,k(n)=φj0,k(xs+nΔxs)${\phi }_{j_0,k}(n)={\phi }_{j_0,k}(x_s+n\mathrm{\Delta }{x}_s)$,n=0，1，2,…,M-1.即将φ(x)$\phi (x)$平均分割为M块，然后分别与f(n)相乘。
这个地方是与连续小波变换求系数有差别的，因为连续小波变换的系数是f(x)和φ(x)$\phi (x)$的内积他们的交叠部分才进行相乘处理，而离散小波变换，f(x)中的x可能取1，2，3，4，5.但是其要与φ(x)$\phi (x)$x∈(0,1)$x\in (0,1)$将其进行M等分进行相乘即f(1)*φ(1/M)$\phi (1/M)$…..。即他们在x轴上的范围并不相交。

同样给一个例子，同样拍照：

下一篇将正式开始熟悉的小波变换。