MIT 线性代数笔记 第四讲：矩阵的LU分解

一.矩阵乘积的逆  

（这里举了一个先脱袜子再穿鞋，先穿袜子再穿鞋的例子，教授好可爱~）

二.矩阵转置的逆

推导：

    所以：

三.矩阵的LU分解

• 在没有换行的情况下

在第二讲中讲到了如何通过消元矩阵将矩阵A变为，主元在对角线的上三角矩阵，即

                                                 

两侧同时乘以,则有,也就是,这就是LU分解。

有时也可以将A分解为,其中D是对角矩阵。

矩阵的分解可以类比于多项式的因式分解，分解后可以更好地看清解的状态。（eg:）

• 消元所需计算量

图片截取自MIT笔记，链接如下：

https://download.****.net/download/qq_33824952/10719183

• 行转换

若主元位置出现0，则需要行变换，通过左乘一个置换矩阵可以实现行变换如：,类似的3*3置换矩阵共有六个。n*n的矩阵存在n!个置换矩阵，置换矩阵每一行除了0外只有一个1，且每一行n的位置不同，第一行n的位置有n个选择，第二行有n-1个选择，以此类推最后一行只有1个选择，所以n阶方阵有n！个置换矩阵。

置换矩阵的性质：

置换矩阵相乘仍在置换矩阵的集合中，逆矩阵也在集合中。置换矩阵的逆为它的转置。