引言：不变量

• 对于系统状态的论断
  • 恒不成立
  • 在特定时间范围内成立
  • 恒成立

平衡状态

• 对于一动力系统的某一状态及某一给定的变换
• 若该动力系统在该变换下保持该状态
  • 离散情形：下一步状态完全等同于此时状态
  • 连续情形：各状态分量相对于时间变化率为0
• 称就该变换而言，该状态为该动力系统的1个平衡状态

循环圈

• 对于一动力系统的一系列状态及某一给定的变换
• 若该动力系统在该变换下无限地于该一系列状态中呈现有规律的循环
• 称就该变换而言，该一系列状态间的有向连接为该动力系统的1个循环圈

稳定域

• 对于某一给定的变换及一动力系统的一系列状态
• 若该动力系统的某些状态位于该变换下该动力系统的平衡状态和/或循环圈内
• 称这一系列状态为该变换的稳定域
  

干扰

下面仅讨论稳定状态，不讨论循环圈；但循环圈下的定义与之类似，可类比得出。

特定算子下的稳定性

• 对于一个动力系统的某一状态a、变换T及某一位移算子D
• 若lim(n→∞)TⁿD(a)=a
  • 即：对状态a作用1次变换D，而后作用变换T，系统状态总能回到并稳定于a
  • 称就变换T而言，该动力系统的状态a在位移算子D的作用下总是稳定的
  • 举例：稳定停留在非光滑凹面中最低点 (a)的小球，接受一个给定大小、方向的外力 (D)的作用向上移动一段距离，在重力和摩擦力 (T)的作用下，经过足够长的时间，总能回到并稳定于最低点 (a)
• 若lim(n→∞)TⁿD(a)不存在
  • 称就变换T而言，该动力系统的状态a在位移算子D的作用下是不稳定的
• 该定义必须明确的几个要素：状态a，位移算子D，变换T（通常代表系统本身的性质）
• 显然，状态a本身首先必须是平衡状态:lim(n→∞)Tⁿ(a)=a

一簇算子下的稳定性

• 实际上现实机器的工作中位移算子D常常是不确定的；此时需要研究的是一簇位移算子作用下系统的稳定性
• 对于一个动力系统的某一状态a、变换T及某一簇位移算子D1,D2,…,Dn
  • 若∀Di∈{D1,D2,…,Dn}，均存在lim(n→∞)TⁿDi(a)=a
  • 即：对状态a作用1次变换Di，而后作用变换T，系统状态总能回到并稳定于a
  • 称就变换T而言，该动力系统的状态a在这一簇位移算子D1,D2,…,Dn的作用下总是稳定的
  • 该定义必须明确的几个要素：状态a，一簇位移算子（可能是有限多个也可能是无限多个），变换T（通常代表系统本身的性质）
  • 举例：外周血血铅水平稳定于一个范围内 (a)，在一次性经胃肠道摄入一定范围的铅 (D)时，总能通过一系列调节机制 (T)，使得外周血血铅水平始终稳定于该范围内 (a)

稳定域的移动

• 对于一个动力系统的两个稳定状态a、b，变换T及某一簇位移算子D1,D2,…,Dn
• 若∀Di∈{D1,D2,…,Dn}，均存在lim(n→∞)TⁿDi(a)=b
• 称就变换T而言，该动力系统状态a在这一簇位移算子D1,D2,…,Dn的作用下移动到状态b
• 举例：颅高压的代偿阶段，颅内压稳定于一个范围内 (a)，在新增颅内占位体积在一定范围 (D)内时，总能通过一系列调节机制 (T)，使得颅内压稍有升高而稳定于另一个稍高的范围 (b)

变换改变导致的稳定域移动

• 对于一个动力系统，存在就变换T而言的稳定状态a
• 引入一新的变换V，若lim(n→∞)Vⁿ(a)=b
• 称对于新的变换V，原有的稳定状态由a移动到了b
• 引入位移算子和引入新的变换本质上是不同的
  • 位移算子：初值的改变
    • 举例：暴露于严寒环境->低体温
  • 引入新的变换：系统内部运行规律的改变
    • 举例：下丘脑体温调节机制损害->低体温

部分平衡和全平衡

• 对于一动力系统的各个子系统
• 整个系统处于平衡状态 当且仅当 每个子系统在其他子系统所确定的条件下都处于平衡条件