《统计推断第二版》笔记——区间估计

9.1 引言

前面讨论过参数$\theta$θ的点估计，那里的推断是猜测一个单个值作为$\theta$θ的值，这一章我们讨论区间估计及更一般的集合估计。

集合估计问题中的推断就是陈述 $\theta\in C$θ∈C，其中$C\subset\Theta$C⊂Θ并且$C=C(\mathbf X)$C=C(X)是一个由观测数据$\mathbf X=\mathbf x$X=x的值决定的集合。

定义9.1.1 一个实值参数$\theta$θ的区间估计是样本的任意一堆函数$L(x_1, \cdots,x_n)$L(x1​,⋯,xn​)和$U(x_1,\cdots, x_n)$U(x1​,⋯,xn​)，对于所有的$\mathbf x \in \mathcal X$x∈X满足$L(\mathbf x)\leqslant U(\mathbf x)$L(x)⩽U(x). 如果观测到样本$\mathbf X=\mathbf x$X=x，就做出推断$L(\mathbf x)\leqslant \theta\leqslant U(\mathbf x)$L(x)⩽θ⩽U(x). 随机区间$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]叫做区间估计量。

使用区间估计而不使用点估计，目的在于对于捕获感兴趣的参数有某种保证。这个保证的确定是用以下定义量化的。

定义9.1.4 对于一个对参数$\theta$θ的区间估计量$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]，$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]的覆盖概率是指随机区间$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]覆盖真实参数$\theta$θ的概率。在符号上记作$P_{\theta}\ \ (\theta\in [L(\mathbf x), U(\mathbf x)])$Pθ​  (θ∈[L(x),U(x)]).

定义9.1.5 对于一个参数$\theta$θ的区间估计量$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]，$[L(\mathbf x), U(\mathbf x)]$[L(x),U(x)]的置信系数是指覆盖概率的下确界$inf_{\theta}\ P_{\theta} \ \ (\theta\in [L(\mathbf x), U(\mathbf x)])$infθ​ Pθ​  (θ∈[L(x),U(x)])

因为我们不知道$\theta$θ的真实值，所以我们只能保证一个覆盖概率的下确界，即置信系数。在某些情况这并不紧要，因为覆盖概率是$\theta$θ的一个常数函数。而某些情况，覆盖概率可能随$\theta$θ不同而有很大变化。