矢量语义——从TF-IDF到Word2Vec你所需要知道的一切！

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斯坦福经典NLP教材Speech and Language Processing-Vector Semantics学习笔记。

我们该如何表示一个单词的意思呢？你可能会想到其中的一种，用一个向量来表示一个单词！没错，这个章节就是讲单词的表示。

文档和向量

如果用向量来表示一个文档，该怎么表示呢？

假设现在有四个文档，我们统计各个单词在文档中出现的次数，可以得到一张表格：

-	As You Like It	Twelfth Night	Julius Caesar	Henry V
battle	1	0	7	13
good	114	80	62	89
fool	36	58	1	4
wit	20	15	2	3

当然实际上文档的单词数量远不止这几个。

上面表中，有4个单词，所以每一个文档可以表示成一个由单词频率组成的向量：

As You Like It ------> [ 1,114,36,20]
 Twelfth Night ------> [ 0, 80,58,15]
 Julius Caesar ------> [ 7, 62, 1, 2]
       Henry V ------> [13, 89, 4, 3]

如果单词有很多个，假设是N，那么每个文档就可以表示成一个N维的向量。可见，这样的向量表示是稀疏的(sparse)。

单词和向量

除了文档可以表示成一个向量，单词也可以。

和文档类似，我们可以统计出一张表格，但是不同的是，我们不是统计单词的个数，而是统计两个单词出现在一起的频数。看一张表格你就知道了：

-	aardvark	…	computer	data	pinch	result	sugar
apricot	0	…	0	0	1	0	1
pineapple	0	…	0	0	1	0	1
digital	0	…	2	1	0	1	0
information	0	…	1	6	0	4	0
…

这个表格是一个$V\times V$V×V的表格，每个数字表示当前列的单词出现在当前行单词后面的次数，这就构成了上下文，所以这个表格其实就是一个上下文矩阵，其中V就是总的词典的大小，也就是单词的数量。

我们取出每一行，就可以得到一个单词的向量表示，例如：

digital ------> [ 0,..., 2, 1, 0, 1, 0]

同样的，这样的表示也是稀疏的。

Cosine计算相似度

现在我们已经有文档或者单词的向量表示了，那么该如何计算它们之间的相似度呢？一个很常见的方法就是余弦相似度(Cosine similarity)。

学过高中数学就知道，两个向量的**点积(dot-product)或者内积(inner product)**可以由以下公式计算：

$\text{dot-produtc}(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) = \sum_{i=1}^Nv_iw_i=v_1w_1+v_2w_2+\dots+v_Nw_N$dot-produtc(v,w)=i=1∑N​vi​wi​=v1​w1​+v2​w2​+⋯+vN​wN​

而**向量的模(vector length)**为：

$\vert\overrightarrow{v}\vert = \sqrt{\sum_{i=1}^Nv_i^2}$∣v∣=i=1∑N​vi2​​

又:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \vert{\overrightarrow{a}}\vert \vert{\overrightarrow{b}}\vert \cos\theta$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

即：

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert{\overrightarrow{a}}\vert \vert{\overrightarrow{b}}\vert}$cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​

所以，我们可以计算$\overrightarrow{v}$v和$\overrightarrow{w}$w的余弦值：

$\cos(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) = \frac{\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}}{\vert{\overrightarrow{v}}\vert \vert{\overrightarrow{w}}\vert} = \frac{\sum_{i=1}^Nv_iw_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^Nv_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^Nw_i^2}}$cos(v,w)=∣v∣∣w∣v⋅w​=∑i=1N​vi2​​∑i=1N​wi2​​∑i=1N​vi​wi​​

所以，两个向量的余弦值越大，它们越相似。

TF-IDF

接下来就要介绍TF-IDF了，首先解释一下这个词：

TF-IDF = Term Frequency - Inverse Document Frequency

理解了名称，你就理解了一半！

那么什么是term-frequency呢？term-frequency就是单词在文档中出现的次数。

$\text{tf}_{t,d} = 1+\log_{10}{\text{count}(t,d)} \quad\text{if }\text{count}(t,d) > 0 \quad\text{else } 0$tft,d​=1+log10​count(t,d)if count(t,d)>0else 0

那么什么是IDF呢？首先我们弄清楚DF(document frequency)。

$\text{df}_t$dft​表示出现过这个单词的文档(document)的个数！

那么，IDF就是：

$\text{idf}_t = \frac{N}{\text{df}_t}$idft​=dft​N​

其中，N就是一个集合(collection)中的documents数量。

为了避免数值过大，通常会取对数：

$\text{idf}_t = \log_{10}(\frac{N}{\text{df}_t})$idft​=log10​(dft​N​)

至此，我们可以计算这个单词$t$t的tf-idf权值：

$w_{t,d} = \text{tf}_{t,d}\times\text{idf}_t$wt,d​=tft,d​×idft​

此时，我们的第一个表格，就变成了：

-	As You Like It	Twelfth Night	Julius Caesar	Henry V
battle	0.074	0	0.22	0.28
good	0	0	0	0
fool	0.019	0.021	0.0036	0.0083
wit	0.049	0.044	0.018	0.022

到目前为止，上面的所有向量表示都是稀疏的，接下来要介绍一种**稠密的(dense)**的向量表示——word2vec！

Word2Vec

这个大家应该很熟悉了，应该算是NLP领域的标配了。

我之前写过一篇word2vec的笔记自己动手实现word2vec(skip-gram模型)，但是其实还是很粗糙。Tensorflow也有一个教程Vector Representations of Words，但是如果你没有一点基础的话，也还是有些概念难以理解。所以相对完整地理解word2vec，你需要结合多方面的资料。这个笔记在介绍斯坦福教材的同时，也会引入其他文章，做一些比较和思考，希望这个笔记能够给你带来相对全面的理解。

word embedding

首先我们解释一下词嵌入(word embedding)的概念。本小节之前的所有向量表示都是稀疏的，通常都是一个高维的向量，向量里面的元素大部分都是0。那么embedding有什么不一样的呢？

Embedding同样也是用一个向量来表示一个词，但是它是使用一个较低的维度，稠密地表示。

如果使用之前的稀疏表示，你可能会这样表示hello这个词语：

$\text{hello} \longrightarrow \quad\underbrace{[0, 0, 0, 1, 2, 0,\dots, 0]}_{N个数}$hello⟶N个数[0,0,0,1,2,0,…,0]​​

那么，使用嵌入表示之后会是什么样子呢：

$\text{hello} \longrightarrow \quad\underbrace{[0.012,0.025,0.001,0.078,0.056,0.077,\dots,0.022]}_{n个数，一般是100到500左右}$hello⟶n个数，一般是100到500左右[0.012,0.025,0.001,0.078,0.056,0.077,…,0.022]​​

其中的差异一眼就看出来了。所以很明显，word embedding有好处：

• 不会造成维度爆炸，因为维度是我们自己设置的，通常比较小
• 向量是稠密的，不需要稀疏向量所采用的各种优化算法来提升计算效率

词嵌入理解了，那么什么是word2vec呢？其实就是把单词表示成固定维度的稠密的向量！说起来简单，但是也有很多小技巧的。

数据模型

假设我们有一个很大的文本语料，我们需要用这个语料来训练出单词的向量表示。那么该怎么训练呢？

当然你可能会想到基于计数的方式，就像前面几个小节一样，我们不说这个。

word2vec有两种常用的数据准备方式：

• CBOW，用前后词(context words)预测目标词(target word)
• skip-gram，用目标词(target word)预测前后词(context word)

使用tensorflow里面的例子：

the quick brown fox jumped over the lazy dog

举个例子，假设我们的**窗口大小(window size)**是2，目标词选择fox。

如果是skip-gram模型，我们会这样准备数据：

(fox, quick)
(fox, brown)
(fox, jumped)
(fox, over)

也就是一个目标词，我们可以构造出window_size个训练数据对。

如果是CBOW模型，我们会这样准备数据：

([quick brown jumped over], fox)

看出其中的差异了吧？

总之，skip-gram和CBOW就是两个相反的数据模型。Learning Word Embedding有两张图可以分别表示两种模型的输入方式：

skip-gram模型

CBOW模型

数据模型应该清楚了。

与之前不同的是，word2vec并不关心相邻单词之前一起出现的频数，而是仅仅关心，这个单词是不是属于另一个单词的上下文(context)!也就是说，word2vec不关系根据这个词预测出的下一个词语是什么，而是只关心这两个词语之间是不是有上下文关系。

于是，word2vec需要的仅仅是一个二分类器：“这个单词是另一个单词的上下文单词吗？”

所以，要训练一个word2vec模型，我们其实是在训练一个二分类器。而二分类器，你肯定很容易就想到了Logistic Regression！关于逻辑回归，可以看我的另一篇笔记Logistic Regression。

实际情况，skip-gram用的比较多，因为有一个说法，CBOW模型在小的数据集上面表现不错，在大的数据集里，skip-gram表现更好。

神经语言模型

这里需要说明进一步说明一下。Tensorflow里面有关于**神经概率语言模型(nerual probability language model)**的描述。

传统的神经概率语言模型的训练通常是用**最大似然(maximum likelihood)**法则来最大化下一个词的softmax概率，基于前面的词，也就是：

$P(w_t\vert h) = \text{softmax}(\text{score}(w_t,h)) = \frac{\exp{\text{score}(w_t,h)}}{\sum_{\text{w' in V}}\exp{\text{score}(w',h)}}$P(wt​∣h)=softmax(score(wt​,h))=∑w’ in V​expscore(w′,h)expscore(wt​,h)​

其中，$\text{score}(w_t,h)$score(wt​,h)其实就是$w_t$wt​和$h$h的点积(dot-production)。

那么这样训练模型的目标就是，最大化对数似然概率(log likelihood)：

$J_{\text{ML}} = \log{P(w_t\vert h)} = \text{score}(w_t,h) - \log(\sum_{\text{w' in V}}\exp{\text{score}(w',h)})$JML​=logP(wt​∣h)=score(wt​,h)−log(w’ in V∑​expscore(w′,h))

那么这样会有什么问题吗？计算量太大了，因为在每一个训练步里，需要对词典里的每一个词，使用softmax计算出一个概率值！这个模型如下图所示：

正如前面所说，我们的word2vec并不需要一个完整的概率模型，我们只需要训练一个二分类器，从k个噪声单词(noise words)里面判别出正确的目标词(target words)。这k个噪声单词是随机选择出来的，这个技术叫做负采样(negative sampling)，因为选出来的一批词都是不是正确的target word。这个模型如下图所示：

这样一来，我们要最大化的目标就是：

$J_\text{NEG} = \log Q_\theta(D=1 |w_t, h) + k \mathop{\mathbb{E}}_{\tilde w \sim P_\text{noise}} \left[ \log Q_\theta(D = 0 |\tilde w, h) \right]$JNEG​=logQθ​(D=1∣wt​,h)+kEw~∼Pnoise​​[logQθ​(D=0∣w~,h)]

其中，$Q_\theta(D=1\vert w, h)$Qθ​(D=1∣w,h)表示二分类逻辑回归在数据集D中的上下文h中包含目标$w_t$wt​的概率。

The classifier

上面说到了负采样。什么事负采样呢？其实就是随机选取k个词语，和目标词组成负样本训练。

现在我们回到斯坦福的教材上来。这里列出训练一个skip-gram模型的要点：

• 把目标词和上下文词组成的样本当做训练的正样本(positive sample)
• 随机选取一些词和目标词组成的样本当做训练的负样本(negtive sample)
• 使用logistic regression训练一个二分类器来区分两种情况
• regression的权重就是我们的embedding

word2vec需要的是训练一个binary logistic regression，给定一个目标$t$t和候选上下文$c$c的元组$(t,c)$(t,c)，返回$c$c正好是$t$t的上下文词的概率：

$P(+\vert t,c)$P(+∣t,c)

那么，$c$c不是$t$t的上下文词的概率就是：

$P(-\vert t,c) = 1 - P(+\vert t,c)$P(−∣t,c)=1−P(+∣t,c)

那么分类器如何计算这个概率$P$P呢？skip-gram模型有这样一个假设：相近的词它们的嵌入表示也很近！

也就是，我们可以把两个词语的嵌入表示的相似度，用来表示概率$P$P！相似度就用我们上文说到的余弦相似度：

$Similarity(t,c) \approx t\cdot c$Similarity(t,c)≈t⋅c

当然，点积的结果并不是概率表示，我们需要用logistic或者叫sigmoid函数，把它转化为概率表示：

$P(+\vert t,c) = \frac{1}{1+e^{-t\cdot c}}$P(+∣t,c)=1+e−t⋅c1​

那么：

$P(-\vert t,c) = 1 - P(+\vert t,c) = \frac{e^{-t\cdot c}}{1+e^{-t\cdot c}}$P(−∣t,c)=1−P(+∣t,c)=1+e−t⋅ce−t⋅c​

上面的公式只是一个单词的概率，但是我们需要把整个window里面的单词计算进来。skip-gram模型还有一个假设：所有的上下文单词之间是独立的！

假设我们的window_size = k，于是有：

$P(+\vert t,c_{1:k}) = \prod_{i=1}^k\frac{1}{1+e^{-t\cdot c_i}}$P(+∣t,c1:k​)=i=1∏k​1+e−t⋅ci​1​

通常，我们会使用对数概率：

$\log{P(+\vert t,c_{1:k})} = \sum_{i=1}^k\log{\frac{1}{1+e^{-t\cdot c_i}}}$logP(+∣t,c1:k​)=i=1∑k​log1+e−t⋅ci​1​

skip-gram模型的训练

为了训练这个word2vec，我们除了正样本，还需要负样本。实际上，负样本通常比正样本更多。一般用一个比率k来控制正负样本，如果k=2则说明，每一个正样本，对应2个负样本。这就是前面说的负采样技术。

构造负样本选择的词语(噪声词noise words)是根据一个频率来的：

$p_\alpha(w) = \frac{count(w)^\alpha}{\sum_{w'}count(w')^\alpha}$pα​(w)=∑w′​count(w′)αcount(w)α​

其中，$\alpha$α是一个比率，一般来说取值$\frac{3}{4} = 0.75$43​=0.75。

为什么需要这个比例呢？这样可以让出现次数少的词被选择的可能性变大！

举个例子，如果没有这个比率，假设$P(a) = 0.99$P(a)=0.99，$P(b) = 0.01$P(b)=0.01，加上这个比率之后：

$P_\alpha(a) = 0.97$Pα​(a)=0.97

$P_\alpha(b) = 0.03$Pα​(b)=0.03

可见，$b$b得选择的概率从0.01提升到了0.03。

有了正负样本之后，我们的模型训练就有以下目标了：

• 最大化正样本的概率，也就是正样本的相似度最大化
• 最小化负样本的概率，也就是负样本的相似度最小化

在整个训练集上，用数学表示出上面的目标就是：

$L(\theta) = \sum_{(t,c)\in +}\log P(+\vert t,c) + \sum_{(t,c)\in -}\log P(-\vert t,c)$L(θ)=(t,c)∈+∑​logP(+∣t,c)+(t,c)∈−∑​logP(−∣t,c)

如果从单个训练数据对来看(一个$(t,c)$(t,c) 对和$k$k个噪声$n_1,n_2,\dots,n_k$n1​,n2​,…,nk​)，就有：

$L(\theta) = \log P(+\vert t,c) + \sum_{i=1}^k\log P(-\vert t,n_i)$L(θ)=logP(+∣t,c)+i=1∑k​logP(−∣t,ni​)

概率P由simoid函数计算，有：

$L(\theta) = \log\sigma(c\cdot t) + \sum_{i=1}^k\log\sigma(-n_i\cdot t)$L(θ)=logσ(c⋅t)+i=1∑k​logσ(−ni​⋅t)

展开，有：

$L(\theta) = \log\frac{1}{1+e^{-c\cdot t}} + \sum_{i=1}^k\log\frac{1}{1+e^{c\cdot t}}$L(θ)=log1+e−c⋅t1​+i=1∑k​log1+ec⋅t1​

可以看出，最大化上面的目标，就是最大化正样本$c\cdot t$c⋅t，同时最小化负样本$n_i\cdot t$ni​⋅t。

有了上面的概率表示，那么我们就可以使用交叉熵作为损失函数，然后训练模型了！

值得注意的是，tensorflow里面把上面的两个过程合并了，合并在tf.nn.nce_loss这个函数里面。你可以看到tensorflow的教程里面的损失函数就是使用的tf.nn.nce_loss作为损失函数。但是你继续追踪源码就会发现，这个损失函数只不过是：

• 进行采样，计算出概率
• 使用交叉熵计算损失

可见，和我们上面的训练分析过程是吻合的！

两个权重矩阵W和C

还记得我们上面skip-gram模型训练的最后一个要点regression的权重作为embedding吗？

其实，word2vec训练之后会有两个权重矩阵，分别是嵌入矩阵$W$W和上下文矩阵C，回顾一下这张图：

上图中的$W$W权重矩阵就是我们的Embedding矩阵，而$W'$W′权重矩阵就是我们的Context矩阵！

**如果我们要得到每一个单词的向量表示，只要从$W$W中取出对应的行即可！**因为，训练的每一个单词，都是用one-hot编码的，直接和$W$W相乘即可得到改词的向量表示。如果你对这一部分有疑问，请查看我之前的文章自己动手实现word2vec(skip-gram模型)。

所以，整个word2vec模型就是一个浅层的神经网络！

我们训练结束后，得到的两个矩阵$W$W和$C$C怎么用呢？一般情况下，我们不需要使用$C$C，直接忽略掉即可。但是你也可以把两个矩阵相加，一起来表示新的N维嵌入表示，或者把他们合并，即$[W,C]$[W,C]，用来创建一个新的2*N的嵌入表示。

当然，斯坦福的这个教程，后面还提到了词嵌入的可视化等信息，我就不写了。还是推荐大家去看原文，当然，我写的这个笔记中结合tensorflow那一部分也肯定可以解决你的一些疑惑。

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