电机学习笔记4——PMSM矢量控制双环PI参数整定（1）

开环控制系统，电机的输出转速并不能跟随负载的变化而调整。转速单闭环控制可以稳定电机的输出转速，但是不能充分的控制电流的动态过程。矢量控制系统是以控制电机的定子电流来控制转矩，如果不能有效控制定子电流，则无法有效控制其转矩。添加一个电流内环，可以使电机在负载波动时，动态调节定子电流，进而匹配电磁转矩，加快系统的动态响应速度。

工程设计转速、电流双闭环的原则是“先内环后外环”。设计步骤是：先从电流环开始，对其进行必要的变换和近似处理后，对电流环进行校正（一般校正成2阶系统），最后按动态性能指标要求确定电流调节器的参数。电流环设计完成之后，把电流环等效成转速环中的一个环节，再用同样的方法设计转速环，一般将速度环校正成3阶系统。

1. 电流环控制器参数设计

对交轴电流$i_q$iq​进行分析。在$dq$dq坐标系下，永磁同步电机的交直轴电压为
$u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt} +\omega_r(L_di_d+\psi_f)$uq​=Rs​iq​+Lq​dtdiq​​+ωr​(Ld​id​+ψf​)
为了便于分析，忽略其中的动态项$\omega_r\psi_f$ωr​ψf​和耦合项$\omega_rL_di_d$ωr​Ld​id​，于是得到
$u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt}$uq​=Rs​iq​+Lq​dtdiq​​
对其进行拉普拉斯变换，得到在电流环下的电机传递函数：
$G_M(s) = \frac {i_q(s)}{u_q(s)}=\frac 1{L_qs+R_s}$GM​(s)=uq​(s)iq​(s)​=Lq​s+Rs​1​
于是可以画出电流环的传递函数图：

其中第一项是PI控制器传递函数，第二项是PWM逆变器传递函数，第三项是电机传递函数。令$K_i=K_p\tau_i$Ki​=Kp​τi​,$\tau_i$τi​为PI控制器的超前时间常数。于是可以得到其开环传递函数：
$G_{iopen}(s)=\frac {K_p(\tau_is+1)}{\tau_is}· \frac {K_{PWM}}{T_{PWM}s+1} ·\frac 1{L_qs+R_s}$Giopen​(s)=τi​sKp​(τi​s+1)​⋅TPWM​s+1KPWM​​⋅Lq​s+Rs​1​
为了将其校正成2阶系统，可令$\tau_i ＝ L_q/R_s$τi​＝Lq​/Rs​，于是可得
$G_{iopen}(s)=\frac {K_pK_{PWM}}{L_qs(T_{PWM}s+1)}$Giopen​(s)=Lq​s(TPWM​s+1)Kp​KPWM​​
式中$K_{PWM}$KPWM​是逆变器放大系数，$T_{PWM}$TPWM​是逆变器开关周期。
进一步可得其闭环传递函数：
$G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\\ K_g = \frac {K_pK_{PWM}}{L_qT_{PWM}}\\$Giclose​(s)=s2+TPWM​1​s+Kg​Kg​​Kg​=Lq​TPWM​Kp​KPWM​​
与标准的2阶闭环系统做对比：
$G(s)=\frac {\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$G(s)=s2+2ξωn​s+ωn2​ωn2​​
可得：
$\omega_n = \sqrt{K_g}=\frac 1{2T_{PWM}\xi}$ωn​=Kg​​=2TPWM​ξ1​
进一步可得电流环比例系数和积分系数：
$K_p = \frac {L_q}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}}$Kp​=4ξ2KPWM​TPWM​Lq​​Ki​=4ξ2KPWM​TPWM​Rs​​
PI控制器理想阻尼系数$\xi$ξ一般取0.707。$K_{PWM}$KPWM​视情况而定，此处取1。最终可以得到
$K_p = \frac {L_q}{2T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{2T_{PWM}}$Kp​=2TPWM​Lq​​Ki​=2TPWM​Rs​​

2. 转速环控制器参数设计

转速环设计合理的话，可以提高动态响应速度，减少转速波动。在设计转速环时，可以将电流环的传递函数看作是简单的一阶环节。
$G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\approx\frac 1{4\xi^2T_{PWM}+1}$Giclose​(s)=s2+TPWM​1​s+Kg​Kg​​≈4ξ2TPWM​+11​
由电机在$dq$dq坐标系下的电磁转矩方程：
$T_e = \frac 32p_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q]$Te​=23​pn​[ψf​iq​+(Ld​−Lq​)id​iq​]
在$i_d = 0$id​=0的控制方式下可以进一步简化，并结合电机的运动方程和转速公式：
$T_e = \frac 32p_n\psi_fi_q \\ T_e - T_L= J\frac {d\omega}{dt}\\ n =\frac {30\omega}{\pi}$Te​=23​pn​ψf​iq​Te​−TL​=Jdtdω​n=π30ω​
令负载转矩$T_L ＝ 0$TL​＝0为，可以画出转速环的传递函数框图：

令$K_i=K_p\tau_i,\xi = 0.707$Ki​=Kp​τi​,ξ=0.707,可得开环传递函数为：
$G_{nopen}(s)=\frac {K_n(\tau_ns+1)}{s^2(2T_{PWM}s+1)}\\ K_n = \frac {45K_pp_n\psi_f}{J\pi\tau_n}$Gnopen​(s)=s2(2TPWM​s+1)Kn​(τn​s+1)​Kn​=Jπτn​45Kp​pn​ψf​​
通常将速度环按典型II型系统（3阶）进行校正，有：
$\tau_n = h*2T_{PWM} \\ K_n = \frac {h+1}{2h^2*(2T_{PWM})^2}$τn​=h∗2TPWM​Kn​=2h2∗(2TPWM​)2h+1​
无特殊要求时，一般取$h = 5$h=5。于是可以得到速度环PI控制器的比例系数和积分系数：
$K_p = \frac {J\pi}{150*p_n*\psi_f*T_{PWM}} \\ K_i = \frac {K_p}{\tau_n} = \frac {J\pi}{1500*p_n*\psi_f*T_{PWM}^2} \\$Kp​=150∗pn​∗ψf​∗TPWM​Jπ​Ki​=τn​Kp​​=1500∗pn​∗ψf​∗TPWM2​Jπ​
式中$p_n$pn​为电机极对数，$\psi_f$ψf​为转子永磁体磁链，$J$J为转动惯量，$T_{PWM}$TPWM​为逆变器开关周期。

总结：这种设计方法，忽略了q轴和d轴的耦合项，误差是很大的。经仿真验证，效果并不好。因此需要寻找更好的计算方案。

在设计参数时，参考了陈伯时老师的教材，也查阅了许多文献，发现在采用自动控制理论中的典型系统设计方法来设计PI控制器时，各家的计算结果几乎都不一样。细看下来，差别基本都是来源于对系统近似处理时采用了不同的近似方法，有的论文在前向通路中添加了一个延时环节，有的论文中逆变器环节的时间常数为逆变器开关周期的一半……因此，不求寻找正确答案，只求弄清楚原理。